§ 117. Beitram. Satz u, Folgerungen daraus. § 118. Linienelexn. einer Linienfl. 223 
die Gleichung der Kurve C, so ist, damit C Haupttangentenkurve auf 
Jt i werde, dazu notwendig und hinreichend, daß (3) durch v = f(u) 
erfüllt wird. Dies liefert für die Funktion cp (u) den eindeutigen Wert: 
<P 0) = - 
2 D' df 
D dti’ 
und der Satz ist bewiesen. 
Aus dem Vergleich dieses Beltramischen Satzes mit den allgemeinen 
Ergebnissen in § 113 und § 114 kann nachstehende bemerkenswerte 
Folgerung gezogen werden: 
Bleibt bei der Verbiegung einer als biegsam und un 
dehnbar angenommenen Linienfläche eine Erzeugende starr, 
so bleiben auch alle übrigen Erzeugenden starr. 
Es sei nämlich 8 die fragliche Biegungsiiäche der Linienfläche 
R, g die auf 8 geradlinig gebliebene Erzeugende, dann betrachten wir 
auf 8 eine beliebige Haupttangentenkurve der zweiten Schar, a, und 
die entsprechende Kurve a auf R. Nach den allgemeinen Sätzen in 
§113 und § 114 gibt es eine und nur eine Verbiegung der Fläche R, 
bei der g Haupttangentenkurve (starr) bleibt und a ebenfalls Haupt 
tangentenkurve wird; diese einzige Biegungsfläche ist folglich unsere 
Fläche S. Andrerseits kann nach dem Beltramischen Satz die fragliche 
Verbiegung mit den beiden Haupttangentenkurven g, a auch in der 
Weise vorgenommen werden, daß alle Erzeugenden starr bleiben, 
folglich ist diese Biegungsfläche die Fläche 8, w. z. b. w. 
§ 118. Linienelement einer Linienfläche. 
Der Untersuchung der Abwickelbarkeit von Linienflächen auf 
einander schicken wir einige allgemeine Betrachtungen über diese 
Flächen voraus. 
Auf emer Linienfläche 8 denken wir uns eine beliebige Kurve C 
gezogen, die wir als Direktrix betrachten und nur der Bedingung 
unterwerfen, daß sie alle Erzeugenden schneiden soll. Zur Bestimmung 
der Linienfläche 8 wird es dann genügen, wenn die Kurve C und in 
jedem ihrer Punkte die Richtung der hiudurchgehenden Erzeugenden 
gegeben ist. 
Seien v der von einem festen Punkte der Direktrix G gerechnete 
Bogen dieser Kurve, p, q, r die laufenden Koordinaten eines Punktes 
von 6 Y , ausgedrückt als Funktionen von v, während Z, m, n die Rich 
tungskosinus der durch den Punkt (p, q, r) von C hindurchgehenden 
Erzeugenden bezeichnen und ebenfalls bestimmte Funktionen von v sein 
mögen. Wir bezeichnen ferner mit u den algebraischen Betrag des