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Kap. 8. Verbiegung der Linienfläehen. 
jenigen Stückes der Erzeugenden, das zwischen dem Punkt (p, q, r) der 
Direktrix und einem beliebigen Punkt (x, y, z) der Erzeugenden liegt. 
Die Gleichungen: 
(1) x=p-\-lu, y = q-\-mu, z = r -f nu 
definieren uns die Fläche S, da sie x, y, z als Funktionen von u, v 
ausdrücken. Wir berechnen das Linienelement von S, deuten zu diesem 
Zwecke die Differentialquotienten nach v durch Striche an und setzen: 
i V 2 + m 2 + n 2 = M 2 , 
(2) \ Xp + m q -f- n r = N, 
l lp + mq + nr = cos ff, 
wo M, N, ff Funktionen von v sind und ff offenbar den Neigungs 
winkel der Erzeugenden gegen die Direktrix bedeutet. Zu diesen 
Gleichungen sind noch die folgenden hinzuzufügen: 
I p + .t> s + « s = i, 
' | p 2 + q' 2 + r 2 == 1. 
Für das Quadrat des Linienelements der Fläche erhalten wir den 
Ausdruck: 
(3) ds 2 = du 2 -j- 2 cos ff dudv -f- (M 2 u 2 -f 2 Nu + 1 )dv 2 . 
Wir bemerken nun zunächst folgendes: Die Differentialgleichung der 
orthogonalen Trajektorien der Erzeugenden ist nach S. 64: 
du + cos ff dtp == 0; 
durch Quadratur folgt hieraus sofort die Integralgleichung dieser 
orthogonalen Trajektorien: 
u 4- j cos ftdv = Const. 1 ). 
Betrachten wir eine Erzeugende v und die unendlich benachbarte v + dv 
und bezeichnen wir mit dcp den unendlich kleinen Winkel, den sie mit 
einander bilden, so haben wir offenbar: 
dcp 2 = dl 2 -f- dm 2 + du 2 , 
d. h.: 
(4) dcp = Mdv. 
Bezeichnen wir ferner mit dö ihren unendlich kleinen Minimalabstand 
und mit ü den Wert von u im Fußpunkt dieses Miniraalabstandes auf 
1) Dieses Ergebnis ist offenbar nur ein besonderer Fall des Satzes A) in 
§ 86, S. 167.