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Кар. 1. Kurven doppelter Krümmung. 
Hierbei müssen wir bei der Festsetzung, daß s mit wachsendem и ge 
rechnet wird, für die Wurzel das positive Zeichen wählen. 
In einem Punkte M der Kurve C betrachten wir die Tangente 
und wählen ihre positive Richtung übereinstimmend mit derjenigen der 
Kurve. Bezeichnen wir dann, wie wir es in Nachstehendem stets tun 
werden, mit . 
' oaci /v плс К ола лt 
cos а 
die Kosinus der Winkel der positiven Tangentenrichtung, so haben wir 
die Gleichungen; 
dx 
du 
dy 
du 
cos ß 
cos а — 
dz 
du 
cos у = 
oder: 
dz 
COS у = Ts 
dx 
cos а = , 
ds’ 
(1) 
In diesen Gleichungen (1) ist es gleichgültig, ob wir die rechten 
Seiten als Quotienten von Differentialen oder als partielle Ableitungen 
nach dem Bogen betrachten. 
Die in M auf der Tangente senkrecht stehende Ebene heißt 
Normalenebene der Kurve; sie hat die Gleichung: 
(X — x) cos a -\- (U—- y) cos ß + {Z — z) cos y = 0, 
wo X, Y, Z die laufenden Punktkoordinaten sind. 
§ 2. Die erste Krümmung oder Flexion. 
Aus der mehr oder weniger schnellen Abweichung, die der Punkt 
beim Beschreiben der Kurve von der geradlinigen Richtung erfährt, 
schließen wir auf die größere oder geringere Krümmung der Kurve 
selbst. Um für diesen Begriff eine- genaue Fassung zu erhalten und 
ihn der Messung unterwerfen zu können, betrachten wir zwei benach 
barte Punkte der Kurve, M und M x . Dividieren wir dann den sehr 
kleinen Winkel Ab, den die Richtungen der beiden Tangenten in M 
und M x miteinander bilden, durch die Länge des Bogens MM 1} so 
konvergiert der Quotient 
А 8 
Bogen MM X ’ 
wenn sich M x dem Punkte M unendlich nähert, gegen einen bestimmten 
und endlichen Grenzwert, der als Maß der ersten Krümmung, Bie