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Kap. 8. Verbiegung der Linienflächen. 
Die Werte der Richtungskosinus X, Y, Z der Normale sind durch 
die Gleichungen gegeben: 
m n 
q' -(- m'u r' -\-n'u 
]/.M 2 « 2 -}- 2Nu -f- sin*-fl 
z = 
n l 
I r'-{- n'u p' -f- l'u ! 
-j- 2Nu -j- sin 2 ■9' ’ 
| l m 
p' q' -)- m'u 
■j/iK 2 « 2 2_A r « -(- sin 2 fl 
Bezeichnen wir mit X 0) Y 0J X 0 die Werte von X, Y, Z im Mittel 
punkt u = — mit Si den (zwischen 0 und at gelegenen) Winkel, 
den die beiden positiven Richtungen (X, Y, Z), (X 0 , Y 0 , Z 0 ) mitein 
ander bilden, so erhalten wir, da cos ß = II 0 + YY 0 + ZZ Q ist, 
den Wert: , —— 
ywsin 2 fl - N 2 
cos Sl = 
Jfl/iki 2 M 2 -|- 2Nu-\- sin 2 fl 
Da die Werte der Wurzeln und M selbst positiv zu nehmen sind, 
so ist ersichtlich, daß ii stets spitz ist, wie geometrisch leicht voraus 
zusehen war. 
Nehmen wir nun der Einfachheit halber an, daß die Direktrix 
eine Orthogonaltrajektorie der Erzeugenden sei. Wir haben dann: 
& = ds 2 — du 2 + (u 2 + + 4^2) ^dv 2 . 
Wenn wir an Stelle von v den Parameter 
v l = -fMdv 
einführen (so daß also v 1 nach S. 225 den Bogen der sphärischen In- 
dikatrix der Erzeugenden bedeutet) und gleichzeitig 
N ym ¥ — N 2 
1\P ~ a ’ M 2 
setzen, so sind cc und ß Funktionen von v 1 , und das Quadrat des 
Linienelements nimmt die Form: 
(8) ds 2 = du 2 4- [(u — a) 2 + ß 2 ]dv t 2 
an. Die obige Gleichung für cos Sl wird: 
o P 
cos il = f .... — ; 
V(M —«)• + ?• 
daraus folgt die Formel von Chasles: 
(9) tgii = ^.