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Kap. 8. Verbiegung der Linienflächen. 
Da die allgemeine Lösung der Aufgabe eine willkürliche Funktion ent 
hält, so ist von vornherein klar, daß jede der möglichen Gestalten der 
Direktrix notwendigerweise an eine Bedingung geknüpft ist, die eben 
hinzugefügt werden muß. 
Wir betrachten eine dieser Gestalten der Direktrix, für die wir 
die in der Kurventheorie gebrauchten Beziehungen beibehalten. Nennen 
wir 6 den Neigungswinkel der Schmiegungsebene der Direktrix gegen 
die Tangentialebene der Fläche, so haben wir: 
1 1 = cos fl' cos a + sin fl (cos 6 cos £ sin o cos X\ 
m = cos fl cos ß -j- sin fl (cos 6 cos rj -f- sin 6 cos p), 
n = cos fl cos y -f sin fl (cos 6 cos £ + sin 0 cos v). 
Berechnen wir V, m, n mit Hilfe der Frenetschen Formeln, so redu 
zieren sich die Fundamentalgleichungen (10) und (11), denen l, m, n 
genügen müssen, auf die beiden folgenden: 
N 
oder: 
(14) 
, cos ff _ u 
Q sinfl ’ 
'cos fl 
sin ff sin fl"| 1 2 
T+ 
• 9Q./V' . COS ff\ 2 rcosfl / ^ • «v i 
sin 2 fl (fl H——j -f h (coso smfl) + T 
, r / . • COSffsinfl"] 2 
-f I (sin 6 sin fl) j, J = M 2 x ) 
COS ff 
Q 
(15) — -f (cos6 sinfl)' + 
N 
sinfl 
sind sinfl"] 2 
T 
»',*) 
4+ 
. r, . . COS 6 sinfl"] 2 
-f- (sin 6 sm fl) j, J = M' 2 — 
Die Unbekannten in unserer Aufgabe sind 0, p, T. Es ist klar, 
daß, wenn man den Wert für <5 aus (14) in (15) einsetzt, letztere 
Gleichung in eine Beziehung: 
(iß) r(«, <>’ 
zwischen den Radien der ersten und der zweiten Krümmung der ver 
bogenen Direktrix übergeht. 
Jeder Kurve, deren Flexions- und Torsionsradius der Gleichung (16) 
genügen, entspricht eine spezielle Verbiegung der Linienfläche, deren 
1) Mit (cos a sin fl)', (sin ß sin fl)' werden der Kürze halber die Differential- 
qnotienten von cos ß sin fl, sin ß sin fl nach v bezeichnet. 
2) Dies besagt nach S. 226, daß die geodätische Krümmung der Direktrix bei 
der Verbiegung ungeändert bleibt.