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Kap. 8. Verbiegung der Linienflächen. 
Daraus folgern wir: Es ist stets möglich, eine Linienfläche 
so zu verbiegen, daß eine beliebige Kurve auf ihr eine Krüm 
mungslinie wird, wofern die Kurve nicht eine Orthogonal- 
trajektorie der Erzeugenden ist. 
Ist ferner die gegebene Kurve eine geodätische Linie, so wird 
sie beim Übergange in eine Krümmungslinie eben, wie geometrisch 
nach S. 164 einleuchtet. Dieses ergibt sich auch aus unseren Formeln. 
Nämlich dann ist nach S. 151 6 gleich also nach obigem Wert 
von r j, auch -y gleich Null, und (15) wird: 
-f cos 2 ##' 2 = M 2 - N 2 , 
Q 
wodurch q und also auch die Biegungskurve bestimmt wird. 
§ 125. Linienflächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind. 
Zum Schluß beschäftigen wir uns mit der Frage: Welche Linien 
flächen sind auf Rotationsflächen abwickelbar? 
Eine solche Fläche muß eine stetige Verbiegung in sich zulassen, 
während deren sich das ganze System der Erzeugenden in sich ver 
schieben muß (S. 219). Dabei braucht wegen der Stetigkeit der Ver 
biegung auch der Fall der auf Flächen zweiter Ordnung abwickelbaren 
Flächen nicht ausgenommen zu werden. 
Die Linienfläche sei auf ihre Erzeugenden und deren orthogonale 
Trajektorien bezogen, so daß # gleich ^ ist- Führen wir ^Mdv als 
neues v ein, so hat das Quadrat des Linienelements nach S. 228 die 
^ orm ‘ ds 2 = du 2 -f- [(m — a(v)) 2 -f- ß 2 (v)]dv 2 . 
Während der als stetig vorausgesetzten Verbiegung verschiebt sich die 
Striktionslinie in sich, schneidet daher die Erzeugenden unter konstan 
tem Winkel und ist also eine geodätische Linie (S. 226); ferner ist 
längs derselben die Krümmung der Fläche konstant, gleich K 0 . Nun 
ist längs der Striktionslinie u — a nach S. 229: 
woraus sofort 
ß (v) = Const. = k 
folgt. Bezeichnen wir sodann den (konstanten) Neigungswinkel der Er 
zeugenden gegen die Striktionslinie mit co, so haben wir: 
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