§ 2. Die erste Krümmung oder Flexion. 
3 
gung oder Flexion der Kurve in M betrachtet wird. Wir bezeichnen 
l 
diesen Grenzwert mit 
und sein reziproker Wert q heißt, als Strecke 
Q 
gedeutet, Radius der ersten Krümmung. 
Um die Existenz dieses Grenzwertes nachzuweisen und gleichzeitig 
den Ausdruck für ihn zu finden, stellen wir folgende Überlegung an: 
Um den Koordinatenanfangspunkt und mit dem Radius Eins beschreiben 
wir eine Kugel und schneiden durch sie die Strahlen, die parallel den 
positiven Richtungen der aufeinanderfolgenden Kurventangenten ge 
zogen werden. Der Ort der Endpunkte dieser Strahlen heißt die 
sphärische Indikatrix C der Tangenten. Jeder Lage des erzeugenden 
Punktes M(x, y, z) auf der Kurve C entspricht ein Punkt y', z) 
auf der sphärischen Indikatrix C', und es ist offenbar 
cos«, y = cos ß, z' — cos y. 
(2) 
x 
Betrachten wir nun einen Punkt M t der Kurve C, der M be 
nachbart ist, so wird der Winkel As gerade durch den Bogen des 
größten Kreises gemessen, der auf der Bildkugel die Bildpunkte M' 
und M[ verbindet. Bei der Berechnung des Grenzwertes 
können wir statt A s den entsprechenden Bogen der Indikatrix setzen, 
denn konvergiert As gegen Null, so nähert sich das Verhältnis dieses 
Bogens zu As der Einheit. Bezeichnen wir mit ds das Bogenelement 
der sphärischen Indikatrix, so haben wir also ohne weiteres 
l ds 
q ds 
oder nach (2) 
(3) 
Wird s als unabhängige Variable genommen, so kann diese Formel 
nach (1) auch so geschrieben werden: 
Da der ersten Krümmung nur ein absoluter Wert zukommt, 
so denken wir uns in diesen Gleichungen stets den positiven Wert der 
Wurzel gewählt. 
Wir bemerken sofort, daß eine Kurve C eine Strecke lang 
' o 
nicht die Flexion Null haben kann, ohne längs dieser Strecke gerad 
linig zu sein, denn nach den Gleichungen: 
d cos cc A d cos ß n d cos y