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Kap, 9. Evoluteniläclie und Weingartenscher Satz. 
Aus dem eben bewiesenen Satze von Weingarten können wir in 
der Weise, wie es Lie getan bat, wieder den Satz in § 134 ableiten. 
Wir kennen nämlich auf 8 1 unmittelbar die Kurven r x = Const,; mittels 
einer Quadratur (§ 39, S. 72) ergeben sich die orthogonalen Trajektorien, 
denen auf der Evolventen-TT-Fläche die Krümmungslinien der ersten 
Schar entsprechen. Ähnliches gilt für diejenigen der zweiten Schar. 
§ 136. Beltramis Satz über die Normalensysteme von Flächen, 
die zugleich Flächen berühren. 
Wie schon Weingarten gezeigt hat, ist neben Satz A) auch seine 
Umkehrung richtig, bis auf einen Ausnahmefall, auf den wir später 
zurückkommen werden. Zum Beweise stellen wir die folgenden von 
Beltrami 1 ) herrührenden geometrischen Überlegungen an. 
Auf einer beliebigen Fläche S nehmen wir eine Schar von oo 1 
Kurven g an und betrachten das von den Tangenten der Kurven ge 
bildete Strahlensystem. Damit diese Strahlen die Normalen einer 
Fläche Z seien, ist notwendig, daß die Kurven g geodätische Linien 
sind, da einer der Evolutenmäntel von Z dann eben die Fläche S ist 
(S. 240). Wir wollen nun beweisen, daß diese Bedingung auch hin 
reichend ist. Es seien die Kurven g geodätische Linien und t eine 
ihrer orthogonalen Trajektorien. Wir betrachten die oo 1 Evolventen C 
der Kurven g, die von t ausgehen. Der Ort dieser Evolventen C ist 
nun eine Fläche Z, welche die Tangenten der Kurve g zu Normalen 
hat. Denn ist MF ein Stück einer der Tangenten, das zwischen 
dem Berührungspunkt M mit einer geodätischen Linie g und dem 
Schnittpunkt P mit Z liegt, so ist es auch in P normal zur Evol 
vente C. Lassen wir M längs einer Orthogonaltrajektorie t' der Kurven 
g wandern, so bleibt MF beständig gleich dem zwischen t und V liegen 
den Bogen der Kurven g, und daher ist auch der Ort der Endpunkte 
P auf Z in P normal zu MF. Da also die Tangente MF in P Nor 
male zweier verschiedener von P ausgehender Kurven auf Z ist, so ist 
sie auch Normale von Z, was zu beweisen war. 
Wir haben also das Ergebnis: Die notwendige und hinrei 
chende Bedingung dafür, daß eine Schar von oo 2 Tangenten 
einer Fläche 8 das Normalensystem einer und daher unend 
lich vieler (paralleler) Flächen Z bildet, ist, daß die auf 8 
von diesen Geraden umhüllten Kurven geodätische Linien 
sind. 
1) Eicerche di analisi applicata alla geometria. Giornale di Matexnatiche, 
2. u. 3. Bd.