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Kap. 9. Evolutenfläche und Weingartenscher Satz. 
D*) Wenn das Linienelementquadrat (23) so beschaffen 
ist, daß sich für seine Krümmung der Wert: 
K~»{ß)n 
ergibt, so gehört es zu einer TF-Fläche, deren Hauptkrüm 
mungsradien durch die Gleichungen (24) gegeben sind. 
In der Tat sind dann die Gaußische Gleichung und die Codazzi- 
schen Gleichungen erfüllt. 
§ 139. Anwendung auf die Bestimmung der Minimalflächen: 
r x -f- r 8 = 0 und der ‘Weingartenschen Flächen: 2 (r 2 — r x ) = 
= sin 2 (r 2 -f r x ). 
Bei der Anwendung der vorstehenden Ergebnisse, insbesondere der 
Sätze C) und C*), beschränken wir uns vorläufig auf zwei Fälle, in 
denen mittels Quadraturen die vollständige Klasse von W- Flächen, 
deren Hauptkrümmungsradien durch eine gegebene Gleichung verbun 
den sind, also auch nach dem Weingartenschen Satze die vollständige 
Klasse von Flächen, die auf eine gegebene Rotationsfläche abwickelbar 
sind, bestimmt werden kann. 
Der erste Fall ist derjenige, in dem das System (u, v), für welches 
das Quadrat des Linienelements der Kugel die Form (21) annimmt, ein 
isothermes ist. Daun kann man einfach 
#'(«) = a ’ ^(«0 = 2 
setzen, so daß man nach (22) erhält: 
a* a 3 
r 2 = 11 == 2 
Die entsprechenden Flächen sind ausschließlich Minimalflächen, und 
zwar alle Minimalflächen, und ergeben sich mittels Quadraturen, Da 
das Katenoid eine Rotationsminimalfläche ist, so sind die Evoluten 
flächen der Minimalflächen auf die Evolutenfläche des Katenoids, d. h. 
auf diejenige Rotationsfläche abwickelbar, welche die Evolute der Ketten 
linie zur Meridiankurve und die Leitlinie zur Drehachse hat l ). Von diesen 
Rotationsflächen können wir also mittels Quadraturen alle Biegungs 
flächen erhalten. 
Ein zweiter Fall ergibt sich aus den Sätzen in § 83, S. 162, über 
die geodätischen Ellipsen und Hyperbeln. 
1) Für beide Bvolutemnäntel einer Minimalfläche ergibt sich aus den Glei 
chungen (19) und (19*); 
ds 3 = da~ -f- adß i .