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Kap. 9. Evolutenfläche und Weingartenscher Satz. 
Alle Evolutenflächen der pseudosphärischen Flächen sind auf ein 
und dieselbe Rotationsfläche, die Evolutenfiäche der Pseudosphäre, d. h. 
auf das Katenoid, abwickelbar; also: 
Jeder Evolutenmantel einer pseudosphärischen Fläche 
ist auf das Katenoid abwickelbar. 
Wir betrachten nun auf einer pseudosphärischen Fläche eins der 
unendlich vielen Systeme von geodätischen Linien v, für welche, so 
bald sie mit den orthogonalen Trajektorien als Parameterliuien gewählt 
werden, das Quadrat des Linienelements eine der drei Formen vom 
parabolischen, elliptischen oder hyperbolischen Typus annimmt (§ 98, 
S. 188): 
2 u 
(I) 
ds 2 = du 2 + e R dv 2 , 
(H) 
ds 2 = du 2 -f jR 2 sinh 2 ^ dv 2 , 
(III) 
ds 2 = du 2 + cosh 2 ^ dv 2 . 
ll 
Jedesmal sind die Tangenten der geodätischen Linien v die Normalen 
einer (Evolventen ) W- Fläche, und wir wollen nun feststellen, durch was 
für eine Gleichung dementsprechend die Hauptkrümmungsradien r t , r 2 
jeder solchen W-Fläche verbunden sind. Fassen wir die pseudosphärische 
Fläche S als den ersten Bvolutenmantel der W- Fläche auf und ver 
gleichen wir die Ausdrücke (I), (II), (III) für das Quadrat des Linien 
elements mit dem Ausdruck (19), S. 253, indem wir v 1 statt -u setzen: 
2 
ds\ = dr\ + e J n r * dv 2 , 
so müssen wir die beiden Linienelemente einander gleich setzen, also 
u = + C, v = lv i (O, /1 == Const.) 
annehmen. Als Beziehung zwischen r x und r 2 finden wir somit ent 
sprechend den drei Fällen: 
(!') r y — r 2 = R, 
(II') — r 2 = R tangh , 
(Ul') Jicotgh'^- 
Der Wert von G in den beiden letzten Gleichungen hängt von der be 
treffenden speziellen Evolventenfläche 2J ab. Wir fragen nun: Auf 
was für Rotationsflächen sind die bezüglichen Ergänzungs 
flächen von S in den drei Fällen abwickelbar? 
Im ersten Falle ergibt sich die Antwort sofort aus dem Satze auf 
S. 251; offenbar ist die Ergänzungsfläche in diesem Falle wieder eine