306 Kap. 11. Unendl. kleine Yerbiegg. d. Flächen u. Entspr. durch Orthog. d. El. 
Wir setzen zunächst voraus, daß die Fläche S positives Krüm- 
mungsmaß besitze, und wählen wie in § 162 als Parameterlinien u, v 
auf S ein isotherm-konjugiertes System. Die Gleichungen (19) 
können nun so geschrieben werden: 
1 dx d 
/i\ 1 dx d /|\ 
9* du dv 
\'Э■/ , &* dv du Xd) 
Daraus folgt: 
±(± 
du w 2 
d%\ . d /1 dx\ ^ 
du) ' dv w 2 dv) 
oder; 
d*x d*x 
du 2 dv 2 
^dlog&dx ^dlog&dx 
du du ' dv dv 
nebst analogen Gleichungen in y und z. Bezeichnen wir andrerseits 
mit |^ S J die Christoffel sehen Symbole für die Fläche S und analog 
mit D, D', D"; X, Y, Z die Koeffizienten der zweiten Grundform 
und die Richtungskosinus der Normale von S, so haben wir infolge 
der Grundgleichungen (I), § 47, S. 88: 
d*x . d*x 
du* ' dv* 
({ 
n\ 
1) 
+ 
(2 2 
\ 1 
ni 
} + {*. 2 ]}^ v +^+^n, 
dazu analoge Gleichungen in y und z. Durch Vergleich dieser mit 
der obigen Gleichung ergibt sich: 
fll\ 12 2 \ d log &* (ll\ | l 22 | ¿Dog# 2 
1 1 J + 1 1 ( ~ du ’ \ 2 | + | 2 | “ dv » 
fi + F = o. 
Die letzte dieser Gleichungen besagt, daß D und D" einander gleich, 
aber dem Vorzeichen nach entgegengesetzt sind, woraus folgt: Einer 
Fläche 8 mit positivem Krümmungsmaß entsprechen durch 
Orthogonalität der Elemente nur Flächen 8 mit negativem 
Krümmungsmaß 1 ). 
Wie im Falle von Paaren assoziierter Flächen (§ 161), so ist auch 
hier leicht einzusehen, daß einer Fläche 8 mit negativem Krümmungs 
maß durch Orthogonalität der Elemente Flächen sowohl mit positivem 
wie mit negativem Krümmungsmaß entsprechen. 
Zweitens setzen wir voraus, daß die Fläche 8 ein negatives Krüm 
mungsmaß besitze, und wählen die Haupttangentenkurven als Parameter 
1) Die Fläche S kann nur dann die Krümmung Null besitzen, wenn I) = 0, 
_D' = 0, D" — 0 ist, und geht dann in eine Ebene über (vgl. § 158).