§ 171. Geom. Deutung d. Moutardschen Satzes. § 172. W-Strahlensysteme. 321 
d{x x — x) 
du 
d_ 
du 
Vi fi 
V f 
d (x t — x) 
dv 
Vi fi 
dv 7j f 
u. ä. 
Bei passender Verfügung über die additiven Konstanten in x v y v z x 
können wir also sofort setzen: 
(14) 
x 1 = x -f 
Vi fl 
n f 
1 yt=y + 
fl 
f 
Sl1 
£ ! > 
s i 
*i “ * + 
Si 
■S 7] 
Betrachten wir nun die durch diese Gleichungen bestimmte Fläche S l 
in ihrer Beziehung zur Fläche S, so beweisen die Gleichungen: 
| {x x - x) + rj {y x ~y) + t - 8) = 0, 
- «) + Vi (j/i - y) + iMi - z) = 0, 
da ?7, £ den Richtungskosinus der Normale von $, £ x den 
jenigen der Normale von S t proportional sind, daß die Gerade, die 
zwei entsprechende Punkte F und F 1} (x, y, z) und {x x , y lf z t ), von 
S und S 1 verbindet, in F die Fläche S und in F 1 die Fläche S l berührt. 
Ferner gilt der wichtige Satz: Auf den beiden Mänteln S, S t der 
Brennfläche dieses Strahlensystems entsprechen einander die 
Haupttangentenkurven oder, was auf dasselbe hinauskommt, 
die konjugierten Systeme. 
§ 172. W- Strahlensysteme. 
Diejenigen Strahlensysteme, auf deren Brennmänteln die Haupt 
tangentenkurven (oder die konjugierten Systeme) einander entsprechen, 
mögen H r -Strahlensysteme heißen, in Analogie mit dem Falle der 
Normalensysteme dieser Art, wo die zu den Strahlen normalen 
Flächen eben die in Kap. IX als TF-Flächen bezeichneten Flächen sind. 
Für eine Fläche S mit positivem Krümmungsmaß können wir ohne 
Einführung imaginärer Größen Gleichungen ableiten, die den obigen 
vollkommen analog sind, wenn wir die Fläche auf ein isotherm-konju- 
giertes System beziehen (vgl. § 70, 71, S, 135—137). 
Sind £, r], £ drei Lösungen der Differentialgleichung: 
(15) 
d*& 
dv* 
= Mü, 
so ist die Fläche S durch die Gleichungen: 
dx 
V 
t 
dx 
V 
du 
drj 
dv 
dv 
’ dv ~ 
dri 
du 
H 
du 
und die analogen in y und z bestimmt. Bedeutet B, eine vierte Lösung 
von (15), so definieren die Gleichungen (§ 162, S. 302, (19)): 
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 21