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Kap. 12. W- Strahlensysteme. 
übergeht, so ist hiermit bewiesen, daß R eine Lösung der Gleichung 
(24) ist. Nun lassen sich die Gleichungen (23) auf die Gleichungen 
(13) des vorigen Paragraphen zurückführen, und der Satz ist somit 
bewiesen. 
§ 174. Verallgemeinerung des Halpliensclien Satzes. 
Die obigen Gleichungen führen sofort zum Beweise des bereits in 
§ 155, S. 287, erhaltenen Satzes, der die von Halphen für die TP-Nor- 
malensysteme nachgewiesene Eigenschaft (§ 132, S. 250, (17)) auf alle 
TP-Systeme ausdehnt. 
Bezeichnen wir nämlich mit <3 den Winkel der beiden Brenn 
ebenen in einem TP-System, dessen Brennmäntel S und 8 t seien, so 
haben wir: 
lli + Wi + SSi = VWi cos 6, 
wo q, die durch die Gleichungen (20) gegebene Bedeutung haben. 
Daraus folgt wegen der Gleichungen (14): 
(% — + (ft — Vf + (ft — ft) 2 = Q Qi sin 2 <?, 
und da nun 
d = y(x x - xf + {y L - y) 2 + (z i — z) 2 
die Entfernung der beiden Brennpunkte und folglich 
sin (? y® 
die Entfernung der Grenzpunkte angibt, so ergibt sich aus (20) die 
Gleichung: 
(24) H, - ( 8 4 J ) 4 
und hieraus der erwähnte Satz: 
Bei jedem TP-Strahlensystem ist das Produkt der Krüm 
mungsmasse der beiden Brennraäntel in zwei entsprechenden 
Punkten gleich dem reziproken Wert der vierten Potenz der 
Entfernung der Grenzpunkte. 
Die Ergebnisse der voraufgehenden Paragraphen liefern eine einfache 
geometrische Deutung für den Moutardschen Satz (S. 318, 319). Man 
lege nämlich eine Moutardsche Gleichung (1) vor, von der R eine par 
tikuläre Lösung sei, mittels deren (1) nach dem angegebenen Verfahren 
in die neue Gleichung (1*) transformiert wird. Bezeichnen wir mit 
£, % £ drei partikuläre Lösungen der Gleichung (1), so können wir 
nach den Lelieuvreschen Formeln (9) eine zugehörige, auf ihre Haupt-