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Kap. 13. Die normalen Kreissysteme. 
(in) b[2 
d_ 'S 7 ^i\ _ V *sri dx l dB 
du *1 dv J ¿LJ ß2 du dv dv du 
Wenn sie nicht identisch erfüllt sind, so liefert die Gleichung (8) höch 
stens zwei Flächen, die zu den Kreisen orthogonal sind, woraus sich 
der Satz von Ribaucour ergibt: 
Sind die Kreise einer Schar von oo * 2 Kreisen zu drei ver 
schiedenen Flächen normal, so sind sie es zu einer ganzen 
Schar von oo 1 Flächen. 
Es dürfte ferner hervorzuheben sein, daß die Gleichung (7), wenn 
Ä = tang ~ 
als Unbekannte eingeführt wird, die Riccatische Form: 
dA — (aJ 2 + hA + c) du -f- (a A 2 + V A + c) dv 
annimmt, wo a, h, c; a , V, c bekannte Funktionen von u, v sind. 
Man braucht also nur eine der zu den Kreisen orthogonalen Flächen 
zu kennen, um alle übrigen mittels Quadraturen zu finden. 
Die Eigenschaft der Riccatischen Gleichung, daß das Doppelver 
hältnis von vier partikulären Lösungen A v A%, A 3 , A± konstant (unab 
hängig von u, v) ist, findet hier die entsprechende geometrische Deu 
tung in dem Satze von Ribaucour: 
Vier Flächen aus der zu einem Kreissystem orthogonalen 
Schar bestimmen auf allen Kreisen des Systems je vier 
Punkte, deren Doppelverhältnis konstant ist 2 ). 
§ 186. Formeln für normale Kreissysteme. 
Wir betrachten ein normales Kreissystem und wählen als Aus 
gangsfläche S eine der Orthogonalflächen. Diese Fläche S beziehen 
wir auf ihre Krümmungslinien, indem wir unter Beibehaltung unserer 
üblichen Bezeichnungen (§ 49, S. 98) 
1) Durch Auflösung der letzten beiden Gleichungen nach —— und ■ 
' ö du dv 
könnten diese drei Gleichungen leicht in eine Form gebracht werden, in der nur 
die Richtungskosinus a, ß, y der Kreisachse anstatt ß lf y,; ß 2 , y 2 auftreten 
würden. 
2) Es ist nämlich A = tang — der Parameter des Büschels, das vom Endpunkt 
2 
des Radius (a,, ß 11 y,) aus die Punkte des Kreises projiziert.