§ 187. Laplacesche Gleichung der normalen Kreissysteme. 351 
setzen. Dann liefert die zweite der Gleichungen (IY) unter Berück 
sichtigung der eben angeführten Gleichungen (a) für ip die Laplace 
sche Gleichung: 
d^jp_ _ d log y~E dtp , d log yG dtp 
dudv dv du' du dv 
(V) 
Ist umgekehrt ip eine Lösung dieser Gleichung, so ergibt sich ein 
entsprechendes Zykelsystem aus den folgenden Gleichungen: 
cos cp — — 
Wird die Funktion ip eingesetzt und tang — wie oben gleich A gesetzt, 
so geht die totale Differentialgleichung (12) über in: 
und ergibt mittels einer Quadratur: 
(G eine willkürliche Konstante). 
Von der Laplaceschen Gleichung (Y) hängt auch die Bestimmung 
derjenigen Flächen ab, welche dieselben sphärischen Bilder der Krüm 
mungslinien haben wie die Fläche S. Daraus geht hervor, daß die 
Aufgabe, die zu einer bestimmten Fläche S normalen Kreis 
systeme zu finden, mit der Bestimmung derjenigen Flächen 
gleichbedeutend ist, welche mit S die sphärischen Bilder der 
Krümmungslinien gemein haben 1 ). Offenbar sind 
x, y, e, x 2 -f y 2 + -f c 
partikuläre Lösungen der Gleichung (V); die entsprechenden Kreis 
systeme sind die vorhin betrachteten, die von den zur Fläche S und 
1) Die Gleichung, auf deren Integration wir die Aufgabe, die Flächen mit 
gegebenen sphärischen Bildern der Krümmungslinien zu bestimmen, zurückgeführt 
haben, ist eigentlich die folgende (s. S. 141): 
a« w ^ d log VE' d w d\ogVG'dw 
dudv dv du ' du dv ’ 
worin E\ G' die Koeffizienten beim Linienelement der Kugel sind; aber die Lö 
sungen dieser Gleichung sind mit denjenigen der Gleichung (Y) des Textes durch 
die einfachen Beziehungen verbunden: 
d W 1 dtp dW 1 dtp