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Kap. 13. Die normalen Kreissysteme. 
einer festen Ebene (Koordinatenebene) oder einer Kugel normalen Kreisen 
gebildet werden. Die Kugel selbst wird reell oder imaginär, je nach 
dem die Konstante c < 0 oder > 0 ist. Ist c = 0, so gehen alle Kreise 
durch einen Punkt. 
§ 188. Dreifaches Orthogonalsystem von Flächen, das zu einem 
normalen Kreissystem gehört. 
Ist P ein Punkt einer Fläche S, die zu einem normalen Kreis- 
sjstem orthogonal ist, so ziehen wir an die Krümraungslinien v — Const., 
u = Const. die Tangenten FA und PP. Es seien dabei A und P 
die Punkte, in denen die Tangenten die Achse des durch P gehenden 
Kreises G schneiden. Bezeichnen wir mit r] 1 , | 2 , v} 2f £ 2 die 
Koordinaten von A bez. P, so finden wir unmittelbar; 
Durch Differentiation der ersten Gleichungen nach v, der zweiten nach 
u und unter Berücksichtigung der Gleichungen (9) und (IV*) er 
gibt sich: 
Ml • Mi. Ml = Mk . Mk • Mk 
= (cosy X 8 —sin cpX x ): 
: (cos cpT 2 — sin (p Y t ) : 
: (cos q>Z 2 — sin (pZ x ). 
dv ' dv dv du ' du du 
Da die drei letzten Ausdrücke die Richtungskosinus der Kreisachse 
sind, so erhellt nach S. 270, daß die beiden Punkte A, P die Brenn 
punkte dieser Achse in dem von den Kreisachsen gebildeten Strahlen 
system sind; die Developpabeln des Strahlensystems sind folglich reell 
und gehören zu den Krümmungslinien der Fläche S. 
Wir betrachten nun alle Flächen ZI, die zu den Kreisen ortho 
gonal sind, und die beiden Scharen von Ortsfiächen der Kreise 
u — Const. und v = Const., 
welche wir mit Z 1} Z 2 bezeichnen. Dann können wir leicht den Satz 
von Ribaucour beweisen: Die drei Flächenscharen Z, Z lf Z 2 
bilden ein dreifaches Orthogonalsystem. 
In der Tat, betrachten wir eine Fläche Z x (u = Const.). Sie 
schneidet alle Flächen Z orthogonal längs Krümmungslinien von Z, die 
folglich nach S. 96 auch für Z x Krümmungslinien sind. Daraus folgt,