§189. Zyklische Strahlensysteme.
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daß auf S l die Krümumngslinien die Kreise C und deren Orthogo-
naltrajektorien sind. Die Normale der Fläche in P ist also die Tan
gente PA der Krümraungsliuie v von 2J, und ebenso ist die Normale
von 2? 2 die Tangente PB der Kurve u auf 2J, woraus sich die Rich
tigkeit des Satzes ergibt.
Ferner sehen wir, daß, wenn wir mit 2p die Entfernung AB
der Brennpunkte bezeichnen, zwischen dem Abstand d des Kreis
mittelpunkts vom Mittelpunkt der Achse und dem Kreisradius B die
Beziehung:
R 2 + d 2 = p 2
besteht, so daß wir, unter 6 einen reellen Winkel verstehend,
d = p cos 6, B = p sin ß
setzen können.
§ 189. Zyklische Strahlensysteme.
Nach dem Obigen besitzt das von den Achsen eines normalen
Kreissystems gebildete Strahlensystem stets reelle Developpabeln, und
es gehören zu diesen die Krümmungslinien der zu den Kreisen orthogo
nalen Flächen. Wir bezeichnen ein Strahlensystem als zyklisch,
wenn es ein normales Kreissystem gibt, dessen Achsen die Strahlen
des Strahlensystems sind. Wir wollen nun die Bedingung dafür auf
stellen, daß ein gegebenes Strahlensystem zyklisch ist. Wie wir sehen
werden, hängt diese Bedingung nur von den sphärischen Bildern der
Developpabeln des Strahlensystems ab, und wir wollen hier, wo wir
nur den allgemeinen Fall betrachten, annehmen, daß diese Bilder zwei
verschiedene Scharen von Kurven u, v seien.
Indem wir auf die Guichardschen Gleichungen (§ 153) zurück
gehen, aus denen sich die Strahlensysteme mit gegebenen sphärischen
Bildern der Developpabeln:
(14) ds' 2 = Edu 2 + 2Fdudv -f Gdv 2
ergeben, erinnern wir daran, daß p, die halbe Entfernung der Brenn
punkte, der Laplaceschen Gleichung (S. 282):
(15)
dudv
i 12 ) fL? I I 1 2 !lü
1 1 ¡du' [ 2-J dv
12 1
1 1
12 \
2 J
genügt und daß umgekehrt jeder Lösung p dieser Gleichung ein
Strahlensystem der verlangten Art entspricht, für das die Koordinaten
x, y, z des Mittelpunktes eines Strahls mittels Quadraturen durch die
Gleichungen (32), S. 285;
Bianohi, Differentialgeometrie. 2. Aufl.
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