§ 191. Die normalen Kreissysteme gleich großer Kreise. 
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§ 191. Die normalen Kreissysteme gleich, großer Kreise. 
Eine andere sehr bemerkenswerte Klasse von normalen Kreis 
systemen ist die von Ribancour entdeckte, bei der die Radien der 
Kreise alle einander gleich sind. Um solche Systeme zu konstruieren, 
nehmen wir eine pseudosphärische Fläche S vom Radius R und be 
schreiben in jeder ihrer Tangentialebenen um den Berührungspunkt als 
Mittelpunkt einen Kreis mit dem Radius R. Aus den Eigenschaften 
der Evolutenilächen folgt, daß die oo 1 pseudosphärischen Flächen, 
welche die Ortsflächen der Mittelpunkte der geodätischen Krümmung 
für die Scharen von parallelen Grenzkreisen auf S sind (vgl. § 140, 
S. 261), in der Tat Orthogonaltrajektorien dieser Kreise sind, so daß 
die Kreise ein Zykelsystem bilden. 
Wollen wir umgekehrt untersuchen, ob dieses die allgemeinsten 
normalen Kreissysteme mit konstantem Radius sind, so brauchen wir 
nur auf die Gleichungen (IV*), S. 350, zurückzugehen und dabei in 
ihnen R gleich Const. zu setzen. Lassen wir den Fall, daß cp gleich 0 
oder y RI 1 ), unberücksichtigt, so ergibt sich aus ihnen: 
dcp 
du 
dy 
dv 
B V G dv 
B 
y G COB çp _ 1 dy G 
B y E dii 
und als Integrabilitätsbedingung erhalten wir: 
ai, 
d_ / i djH 
dv \]/ G dv 
dv ) 
woraus wir nach (18), S. 67, folgern, daß die zu den Kreisen normalen 
Flächen pseudosphärische Flächen mit dem Radius R sind. Die Unter 
suchung läßt sich nun leicht zu Ende führen durch den Nachweis, daß 
die Enveloppe der Kreisebenen auch eine pseudosphärische Fläche ist 
und daß die Kreismittelpunkte die Berührungspunkte sind. In der Tat 
folgen aus diesen Gleichungen und den Gleichungen (9), (10), S. 849, 
sofort die Beziehungen: 
1) Die Zykelsysteme mit konstantem Radius, die diesem Falle, dessen Er 
örterung wir hier übergehen, entsprechen, ergeben sich folgendermaßen; In einer 
Ebene zeichne man eine Schar von oo 1 kongruenten Kreisen und lasse dann die 
Ebene auf einer abwickelbaren Fläche rollen. Das entstehende Kreissystem ist 
das gesuchte. (Vgl. die beiden Bemerkungen des Verfassers über Zykelsysteme 
im Giornale di Matematiche, 21. u. 22. Bd.)