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Kap. 13. Die normalen Kreissysteme. 
Ferner erhalten wir für das Quadrat des Linienelements des Raumes, 
ds 2 == d% 2 + drf + rf£ 2 , den Ausdruck: 
(23) ds 2 = 4cos 2 ~ L 2 du 2 -f 4sin 2 ~ M 2 dv 2 p 2 sin 2 6 ^ w2 - 
§ 193. Bestimmung der sphärischen Bilder der Abwickelbaren eines 
zyklischen Strahlensystems. 
Die Aufgabe, die Zykelsysteme zu bestimmen, läßt sich in zwei 
nacheinander zu lösende Aufgaben zerlegen, nämlich: 
1) alle Systeme von sphärischen Kurven u, v zu bestimmen, welche 
die Bilder der Developpaheln eines zyklischen Strahlensystems sind; 
2) die Strahlensysteme mit gegebenen sphärischen Bildern der 
Developpaheln zu konstruieren. 
Die zweite Aufgabe ist bereits in § 153 behandelt worden; sie 
kommt, wie wir gesehen haben, auf die Integration der Laplaceschen 
Gleichung (15), S. 353, hinaus. 
Was die erste Aufgabe anbetriift, so können wir sie vollständig 
lösen, wenn wir den folgenden Satz benutzen: 
Unter den zyklischen Strahlensystemen, die ein und die 
selben sphärischen Bilder der Developpaheln haben, können 
stets unendlich viele von der Beschaffenheit ausgewählt 
werden, daß die ihnen entsprechenden Kreise durch einen 
festen Punkt des Raumes gehen. 
Sind nämlich die sphärischen Kurven u, v fest bestimmt, so be 
zeichnen wir mit t 0 eine beliebige partikuläre Lösung der Gleichung 
(18), die dem Werte w = iv Q zugehöre. Wir bestimmen p aus den 
beiden simultanen Gleichungen: 
X = 0, ilf = 0, 
d. h. aus den Gleichungen: 
die infolge der Gleichungen in § 189, S. 355, der Integrabilitätsbedingung 
Genüge leisten und eine Lösung p der Gleichung (15) liefern. In dem ent 
sprechenden Zykelsystem haben wir wegen der Gleichungen (21*): 
0 
Sv ’ 
für W = Wq .