Kap. 1. Kurven doppelter Krümmung. 
0 schließen wir aus, da er nur für die Gerade in Betracht 
kommt. 
Aus den Frenetschen Formeln: 
d cos y cos £ d cos £ cos y cos v d cos v cos £ 
ds q ’ ds q T ’ ds T 
folgt: 
cos £ = 0 1 ), cos v = Const., % = —— r = Const. 
Wir haben also gefunden: 
1. In jedem Punkte einer zylindrischen Schraubenlinie 
fällt ihre Hauptnormale mit der Zylindernormale zusammen. 
Diese Eigenschaft ist offenbar für die Schraubenlinie charakteristisch. 
2. Für jede zylindrische Schraubenlinie ist das Verhält 
nis der beiden Krümmungen konstant. Auch diese zweite Eigen 
schaft ist umkehrbar nach dem Satze von Bertrand: Jede Kurve, 
bei der das Verhältnis der beiden Krümmungen konstant ist, 
ist eine zylindrische Schraubenlinie. 
Um ihn zu beweisen, nehmen wir an, daß für eine Kurve C 
y = Const. = % 
sei. Aus den Frenetschen Formeln erhalten wir: 
d cos l q d cos a d cos g q d cos ß d cos v q d cos y 
ds T ds 1 ds T ds ’ ds T ds 
oder nach der gemachten Voraussetzung: 
(cos l — Jt cos a) = 0, ^ (cos ¡x — n cos ß) = 0, ~ (cos v — k cos y) = 0, 
woraus durch Integration folgt: 
cos X — n cos a = A, cos [i — a cos ß = B, cos v — x cos y = C, 
wo die Konstanten A, B, C offenbar der Relation: 
A 2 + B 2 + C 2 = 1 -M 2 
genügen müssen. 
Setzen wir demnach: 
cos X — k cos a ~y 1 -f- k 2 cos a, 
cos fi — k cos ß = Y1 + x 2 cos h, 
cos v — X cos y = ]/l -j- X 2 cos c,