418 Kap. 15. Das Plateausche Problem und die Schwarzscbe Minimalfläche. 
Nun ist die einzige derartige Bewegung die Spiegelung an der 
Verbindungslinie der Mittelpunkte von AC und BD, die wir mit S h 
bezeichnen wollen. 
§ 230. Die Gruppe der konjugierten Fläche. 
Bezeichnen wir mit &]/2 die gemeinsame Länge der vier Kanten, 
so ist sofort klar, daß sich bei passender Orientierung des Vierecks 
AB CD gegen die Koordinatenachsen für die Koordinaten der Eck 
punkte die folgenden Ausdrücke ergeben: 
A = (0, 0, 0), B = (k, 0, k), C = (0, 0, 2 k), D = (0, k, k). 
Daraus folgt, daß die Elementaroperationen der Gruppe G analytisch 
durch nachstehende Gleichungen dargestellt werden: 
S x )x' = z , y' = — y , e' = x ; 
S 2 ) x = 2k — z, y = — y , z' = 2k — x; 
8,) x' x , y = 2k — z, z=2k — y\ 
Ä 4 ) X = - X , y = e , e = y ; 
S h ) x = y , y = x , z = 2k — z. 
Werden ferner die Beziehungen: 
8,8,8, ~8 V S s S 3 S 5 = S x 
berücksichtigt, so ergibt sich, daß die gesamte Gruppe G durch 
die drei Elementarsubstitutionen 8 V S 2 , S 5 erzeugt wird. 
Nun betrachten wir die beiden in G enthaltenen Substitutionen: 
K=8 2 S,. 
Ihre analytischen Ausdrücke sind: 
H) x r = 2 k — z, y = — x, z = y\ 
K) x = z , y = — x, z' = 2k — y, 
und ihre dritten Potenzen sind die Translationen: 
Jp) x == 2k + x, y = — 2k -f y, / = — 2k -f z\ 
K 3 ) x = 2k + x, y = — 2k y, z = 2k + z. 
Die mittels S 2 transformierte Substitution H 3 ist die neue Translation: 
S 2 H 3 S~ 1 ) x = 2k -f x, y = 2k + y, z = -- 2k -f z. 
Aus der Kombination dieser mit den vorhergehenden folgt, daß in G 
die beiden Translationen; 
x=x + Ak, y = y , z=z, 
, y =y + 4Ä, z = z 
X = X