§ 230. Die Gruppe der konjugierten Fläche. 419 
enthalten sind. Da ferner die mittels S, transformierte Substitution 
K 3 diese: 
S 1 K 3 S~ 1 ) x = 2h + x, y = 2k + y, z = 2k -(- z 
ist, so geht daraus hervor, daß auch die Translation: 
x = X, y = y, z = Z + 4/t: 
zu G gehört. 
Die Gruppe G enthält demnach alle Translationen von der Form: 
x = x -f- 2m1c, y = y + 2n1c, z' = z -f 2ph, 
wo m, n, p ganze Zahlen sind, die entweder sämtlich gerade oder 
sämtlich ungerade, d h. der Bedingung: 
m = n =p (mod 2) 
unterworfen sind. Die Translationen von der obigen Form bilden 
offenbar eine Untergruppe I von G, und wie wir sofort sehen werden, 
sind keine weiteren Translationen in G enthalten 1 ). Zunächst können 
wir leicht nachweisen, daß jT eine ausgezeichnete Untergruppe von G 
ist, da die Elementaroperationen von G, nämlich S v S 2 , $ 5 , die Gruppe 
F in sich überführen. W ie in § 227 teilen wir dann die Operationen 
von jT in Klassen von bezüglich JT äquivalenten Operationen ein. 
Setzen wir: £ 6 = S,S 2 , 
so bilden die drei Substitutionen S v S 2 , S 6 mit der identischen eine 
Gruppe (Vierergruppe). Setzen wir ferner: 
u = s,s iy u~ l = s.s, 
und bilden wir die. 24 Operationen: 
1 
y 
S t , 
S 2 , 
S 6 , 
ü 
y 
US, , 
us 2 , 
US 6 , 
u- 
-1 
y 
V-'S,, 
ü- l S a , 
U-'S 6 , 
s. 
y 
S 5 S, , 
S,S 2 , 
S,S 6 , 
S, 
U, 
S,ÜS 1} 
S 6 us 3 , 
S s US 6 , 
s 2 
ü, 
S 2 us 1} 
S 2 US 2 , 
S 2 US 6 , 
so sehen wir, daß sie ein vollständiges System von bezüglich F nicht 
äquivalenten Operationen bilden. Daraus folgt: 
1) Als Elementartranslationen von F können offenbar die folgenden 
drei gewählt werden: 
z — z; 
z' = z -)- 2 k. 
x = x -)- 4 k, 
x = x , 
x’ — x -f- 2 Je, 
y =V 
y'=y+4:lC, 
V = y + 2fc,