422 Kap. 15. Das Plateausche Problem und die Schwarzsche Minimalfläche. 
wenn ¿/2 W der für das Linienelement der Kugel berechnete zweite 
Differentialparameter von W ist. 
Nun setzen wir voraus, daß dieses Integral der Gleichung (14) 
oder auch der Gleichung: 
in keinem Punkte des Kugelstückes 0, auch nicht auf dem Rande, ver 
schwinde, was damit gleichbedeutend ist, daß in keinem Punkte des 
Stückes 2J die Tangentialebene durch den Anfangspunkt gehen soll. 
Dann können wir den Ausdruck unter dem Integralzeichen in der 
Gleichung (13) in die Form: 
bringen, so daß da"s Integral (13) in drei Teile zerfällt, von denen 
die letzten beiden identisch gleich Null sind, wie sich ergibt, wenn 
man partiell integriert und berücksichtigt, daß auf dem Rande ver 
schwindet. Es bleibt also 
'd'ip d TF\ 2 
,du W du ) 
’d'ip ty d TF\ 2 
,dv W dv ) . 
y+f 
■\ 2-1 
1 \dudv 
übrig, und da, wie die Punktion auch gewählt werden mag, das 
rechts stehende Integral wesentlich positiv ausfällt 1 ), so folgt daraus, 
daß jede S unendlich benachbarte und von derselben Randlinie be 
grenzte Fläche S' in der Tat einen größeren Flächeninhalt besitzt 
als S. Dieses Ergebnis können wir in der folgenden von Schwarz 
gegebenen Fassung aussprechen: 
Ein Stück einer Fläche mit der mittleren Krümmung 
Null besitzt unter allen ihm unendlich benachbarten und 
von derselben Randlinie begrenzten Flächenstücken sicherlich 
dann den kleinsten Inhalt, wenn es ein ihm durch Paralle 
lismus der Normalen entsprechendes Flächenstück M der 
selben Art und von der Beschaffenheit gibt, daß in keinem 
Punkte von M die Tangentialebene durch einen im Raume 
• fest gegebenen Punkt geht. 
§ 233. Satz von Schwarz über die zweite Variation. 
Wählen wir speziell als neue Minimalfläche die Fläche selbst, 
so sehen wir, daß das betreffende Stück von S die Minimumeigenschaft 
1) Das Integral könnte nämlich nur für ip = cW (c = Const.) verschwinden; 
dann würde aber ip auf dem Rande nicht gleich Null werden.