§ 235. Konforme Abbildung d. pseudospbärischen Flächen auf d. Halbebene. 425 
zu der das obige Linienelement wirklich gehört, ahsehen, insofern als 
wir diese Untersuchungen über die allgemeine zweidimensionale 
Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung anstellen, für welche die 
Gleichung (1) das Elementargesetz für die Maßbestimmung des Abstandes 
zweier unendlich naher Punkte angibt (ygl. § 93, S. 179). Für alle reellen 
U 
und endlichen Werte von u bleibt die Funktion: ]/G = e R endlich, 
stetig und positiv, weshalb wir jedem Paare reeller und endlicher Werte: 
u — Uq, v = v q einen reellen und im Endlichen gelegenen Punkt der 
Fläche zuordnen, und umgekehrt: unendliche Werte von u und v liefern 
unendlich ferne Flächenpunkte. 
§ 235, Konforme Abbildung der pseudosphäriscben Flächen auf die 
Halb ebene. 
Betrachten wir x, y als rechtwinklige Cartesische Koordinaten eines 
Punktes der Bildebene, so geben uns die Gleichungen: 
(2) x = v, y = Be R 
die konforme Abbildung, von der vorhin die Rede war. Die reellen 
und im Endlichen gelegenen Flächenpunkte entsprechen eindeutig den 
Punkten der Halbebene y > 0, die wir die positive Halbebene nennen 
wollen; das Bild der unendlich fernen Flächenpunkte ist die x-Achse. 
Sie heiße die Grenzgerade 1 ). 
Zunächst sehen wir zu, was für Kurven in der Bildebene den 
geodätischen Linien der Fläche entsprechen. Da der Ausdruck für das 
Linienelement durch die Gleichung (1) gegeben ist, so ergibt sich als 
Gleichung der geodätischen Linien in endlicher Form (§ 89, S. 172, 
Gleichung (26)): 
worin /c, h zwei willkürliche Konstanten sind. Infolge der Gleichungen 
(2) hat die Bildkurve in der Ebene die Gleichung: 
(3) {x ~ h) 2 + y 2 = ~ ■ 
1) Wir müssen die Bildebene als die Gaußische komplexe Ebene, mit einem 
einzigen unendlich fernen Punkt, der zugleich unendlich ferner Punkt der «-Achse 
ist, auffassen.