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Kap. 16. Pseudosphärische Geometrie. 
Also: Jede geodätische Linie der Fläche wird in einen die 
Grenzgerade senkrecht schneidenden Kreis abgebildet, und 
umgekehrt. Wir sehen dabei, daß auch die geodätischen Linien 
v = Const. keine Ausnahme bilden, da sie in Senkrechten zur rr-Achse 
(Kreise mit unendlich fernem Mittelpunkt) ahgebildet werden. 
Da nun durch zwei Punkte der Halbebene stets ein und nur ein 
Kreis geht, der die Grenzgerade senkrecht schneidet, so haben wir 
das wichtige Ergebnis: Zwei beliebige Punkte M l und M 2 der 
pseudosphärischen Fläche können durch eine und nur eine 
geodätische Linie verbunden werden. 
Wir untersuchen nun, wie sich die wahre geodätische Entfernung 
der beiden Punkte M 1 und M 2 in der Bildebene ausdrückt. Für den 
Bogen s der geodätischen Linien haben wir (nach S. 172, (27)): 
also wegen (2): 
Rechnen wir den Bogen s von dem Punkte ab, dessen Bild der höchste 
Punkt: y = j des Bildkreises ist, so müssen wir C gleich — R log 1t 
setzen. Es ist dann: 
Der Ausdruck hinter dem Logarithmenzeichen ist, wie leicht er 
sichtlich, das Doppel Verhältnis von vier Punkten, nämlich von den 
beiden Schnittpunkten des Bildkreises mit der Grenzgeraden, seinem 
höchsten Punkte und dem Bildpunkte des Endpunktes des Bogens. 
Daraus folgt allgemein: Die geodätische Entfernung der 
beiden Punkte M x , M 2 der Fläche ergibt sich, wenn der Log 
arithmus des Doppelverhältnisses, das die beiden Bildpunkte 
m i , m 2 auf dem Bildkreise der geodätischen Linie M x M 2 mit 
den beiden Schnittpunkten dieses Kreises und der Grenz 
geraden bestimmen, mit R multipliziert wird. 
Bezeichnen wir mit y x , y 2 die Ordinaten von m 1} m 2 , so lautet 
der Ausdruck für die geodätische Entfernung d der beiden Flächen 
punkte M x , M 2 :