§ 237. Bewegungen erster Art. § 238. Bewegungen zweiter Axt. 429 
3) (« + d) 2 > 4. Die Wurzeln der Gleichung (7) sind reell und 
voneinander verschieden. Sind A und B die zugehörigen Bildpunkte 
(auf der Grenzgeraden) in der Halb ebene, so entspricht dem Kreise über 
der Strecke AB als Durchmesser auf der Fläche eine geodätische 
Linie, die sich während der Bewegung in sich verschiebt. In diesem 
Palle wird die Bewegung eine hyperbolische genannt; sie besteht in 
einem (mit Verbiegung verbundenen) Schleifen der Fläche auf sich, 
hei dem sich eine bestimmte geodätische Linie in sich verschiebt. 
Ein ziemlich klares Bild von diesen drei Arten von Bewegungen 
erhalten wir, wenn wir die Rotation einer pseudosphärischen Rotations 
fläche vom elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Typus um 
ihre Achse betrachten (§ 99). 
Es dürfte zweckmäßig sein, die erhaltenen Ergebnisse unter Zu 
grundelegung der komplexen Kugelfläche oder der komplexen Ebene 
als typische Fläche mit denjenigen bezüglich der Bewegungen einer Fläche 
konstanter positiver oder verschwindender Krümmung zu vergleichen. 
In jedem Falle ist der analytische Ausdruck der Bewegung eine 
lineare Substitution der komplexen Veränderlichen. Für die Kugel 
haben wir die Cayleysche Formel (S. 83): 
*' - -“A + +«. (ac » +ßß ° - 1} - 
Bei der Bewegung bleiben zwei diametral einander gegenüberliegende 
Punkte der Kugel fest. Es gibt also nur eine Art von Bewegungen, 
die stets wirkliche Drehungen sind. 
Für die komplexe #-Ebene werden die Bewegungen durch die 
ganzen linearen Substitutionen: 
z' = e ia z -f- G (a eine reelle, G eine komplexe Konstante) 
dargestellt. Sie zerfallen in zwei Arten, je nachdem e*“ von 1 ver 
schieden ist oder nicht; erstere sind Drehungen um einen im Endlichen 
gelegenen Mittelpunkt, letztere Translationen. 
§ 238. Bewegungen zweiter Art. 
Wir betrachten nun diejenigen Bewegungen der pseudosphärischen 
Fläche in sich, bei welchen sich die beiden Seiten vertauschen. Wir 
wollen sie Bewegungen zweiter Art nennen, während wir die 
vorhin betrachteten als solche erster Art bezeichnen 1 ). Um den 
analytischen Ausdruck für die Bewegungen zweiter Art zu finden, 
1) Ygl. Klein-Fricke, Elliptische Modulfunktionen. Leipzig, 1890, 1. Bd. 
S. 196 ff.