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Kap, 16. Pseudosphärische Geometrie. 
log tgh ^ + iv = m(log q + i&) + a ih, 
wo m, a, h reelle Konstanten sind. Da aber auch in der Umgebung 
des Punktes p = 0 Winkeltreue herrschen muß, so müssen wir m 
gleich Eins setzen. 
Die Konstante h kann gleich Null gesetzt und a durch Änderung 
der Größenverhältnisse der Figur gleich Eins gemacht werden. Dem 
nach lauten die Abbildungsformeln einfach: 
(9) p = tgh^, & = 
und es ist der Radius des Grenzkreises gleich Eins, da p = 1 für u= oo ist. 
§ 240. Abbildung der Kurven konstanter geodätischer 
Krümmung. 
Die eben betrachtete Abbildung sowie auch diejenige, von der 
wir ausgegangen sind, haben mit der stereographischen Polarprojektion 
der Kugel die wichtige Eigenschaft gemein, die in dem nachstehenden 
Satze ausgedrückt ist: Jede Flächenkurve konstanter geodä 
tischer Krümmung hat zur Bildkurve in der Ebene einen 
Kreis, und umgekehrt. 
Zum Beweise bemerken wir zunächst, daß auf jeder pseudosphä 
rischen Fläche (wie auf jeder beliebigen Fläche konstanter Krümmung) 
die geodätischen Parallelen zu einer Kurve L konstanter geodätischer 
Krümmung ebenfalls konstante geodätische Krümmung besitzen und 
mit den Orthogonaltrajektorien ein Isothermensystem bilden. Wir 
wählen nämlich als Parameterlinien v = Const. die L senkrecht schnei 
denden geodätischen Linien und als Parameterlinien u = Const. ihre 
Orthogonaltrajektorien, von denen die Kurve u = 0 die Kurve L sein 
möge, und setzen ferner fest, daß der Parameter v der Bogen der Kurve 
u = 0, gerechnet von einem festen Punkte der Kurve ab, und u der 
Bogen einer geodätischen Linie, gerechnet von u = 0 ab, sein soll. 
Dann hat das Quadrat des Linienelements die Form (§ 98, S. 188): 
ds 2 = du 2 + {^p(y)e R -f ilj(v)e R ) dv 2 . 
Da nun die geodätische Krümmung der Kurve u = 0, nämlich nach S. 147 
1 1 cp (v) — [V) 
Co Ji <3P(0 + ^ (0’ 
nach Voraussetzung konstant ist, so folgt daraus für das Quadrat des 
Linienelements eine der drei typischen Formen A), B), C) in § 98, 
S. 188, wodurch die Behauptung bewiesen ist.