Kapitel XYIII. 
Transformationen der Flächen konstanter positiver Krümmung und 
ihre Beziehungen zu den Biegnngsflächen der Rotationsflächen 
zweiten Grades. 
Flächen konstanter positiver Krümmung und Hazzidakissche Transformation. — 
Flächen konstanter mittlerer Krümmung. — Bonnet-Liesche Transformation. — 
(Imaginäre) Bäcklundsche Transformationen für die Biegungsflächen der Kugel. — 
Ihre Zusammensetzung zu reellen Transformationen. — Die auf das verlängerte 
Rotationsellipsoid und auf das zweischalige Rotationshyperboloid abwickelbaren 
abgeleiteten Flächen. — Verbiegung von Strahlensystemen und Kugelkongruenzen. 
— Bestimmung der Kugelumhüllenden, deren beide Mäntel bei beliebiger Ver 
biegung der Ortsfläche der Kugelmittelpunkte die mittlere Krümmung Null oder 
konstante mittlere Krümmung behalten. — Guichardsche Sätze. 
§ 269. Biegungsflächen der Kugel und Hazzidakissche 
Transformation. 
In dem vorliegenden Kapitel stellen wir uns die Aufgabe, die im 
voraufgehenden Kapitel für die Flächen konstanter negativer Krüm 
mung entwickelten Untersuchungen und Transformationsmethoden auf 
die Flächen konstanter positiver Krümmung K = -f- -¿j °d er Biegungs 
flächen der Kugel auszudehnen. Gleichzeitig werden wir die bemer- 
kenswerten von Guichard herrührenden Sätze über die Biegungsflächen 
der Rotationsflächen zweiten Grades ableiten, deren Theorie auf diese 
Weise mit derjenigen der Flächen konstanter Krümmung verknüpft wird. 
Zunächst entwickeln wir einige grundlegende Eigenschaften der 
auf die Kugel abwickelbaren Oberflächen. Es sei S eine solche Fläche 
und R der Radius der Kugel, auf die S abwickelbar ist. Wir beziehen 
S auf die Krümmungslinien, und es sei: 
ds 2 = E du? 4- Gdv'*; 
dann haben wir: 
r 1 r 2 = R 2 , 
wenn r v r 2 die Hauptkrümmungsradien bedeuten. Nehmen wir z. B. 
r 1 >R, r 2 <R an, so können wir setzen: 
r x = R coth fl, r 2 — R tgh fl,