558 Kap. 19. Transform. B k d. auf das hyperbolische Paraboloid abwickelb. Flächen. 
Diese Gleichnng kann auch nach einigen Vereinfachungen in die Form: 
(.DU 2 - I)"F 2 ) \pq + -f (DD"- P' 2 )] = 0 
gebracht werden, und diese ist identisch richtig, weil nach der Gau Bischen 
Gleichung (29), S. 581, eben 
DD" — P' 2 = 
Apq 
H 
ist. Unser Satz ist somit bewiesen. 
§ 300. "Wechselbeziehung zwischen S und Si. 
Durch unsere voraufgehenden Untersuchungen haben wir nach 
einander die wichtigsten Eigenschaften der Transformationen B k für 
die Biegungsflächen des hyperbolischen Paraboloids festgestellt. Aber 
noch einen anderen wesentlichen Punkt haben wir zu klären, der die 
größte Bedeutung gewinnt, sobald wir die Transformationen B k wieder 
holt anwenden wollen, um immer neue Lösungen des betreffenden Ab 
wicklungsproblems zu erhalten. Wir wollen den Satz beweisen: 
Entsteht die Biegungsfläche S k des hyperbolischen Para 
boloids aus der Biegungsfläche S vermittelst einer Transfor 
mation B k , so geht umgekehrt S aus S t vermittelst derselben 
Transformation B k hervor. 
Der Beweis dieses Satzes, der im Falle der Bäcklundschen Trans 
formationen der pseudosphärischeu Flächen wegen der metrischen Eigen 
schaften der bezüglichen (pseudosphärischen) Strahlensysteme ohne 
weiteres einleuchtet, ist im vorliegenden Palle etwas umständlich. Aber 
auf Grund des Abwicklungsgesetzes zwischen den beiden Mänteln S, S t 
werden wir ihn auf elementare Eigenschaften der Ivory sehen Ver 
wandtschaft zurückführen. 
Zunächst müssen wir nachweisen, daß bei der Abwicklung des 
zweiten Brennmantels S x auf das Paraboloid P 0 , wobei an jede 
Facette /j von S k die entsprechende Facette f von S gekoppelt ist, 
diese oo 2 Facetten f sich so anordnen lassen, daß ihre Mittelpunkte auf 
dem konfokalen Paraboloid P k liegen und ihre Tangentialebenen auch 
dieses Paraboloid berühren. Dann folgt aus dem letzten in § 298 be 
wiesenen Satze, daß der verlangte Beweis sich sofort auf den besonderen 
Fall beschränken läßt, in dem die beiden Brennmäntel des IF-Strahlen- 
systems zwei Biegungslinienflächen R, R k sind. Wir brauchen nämlich 
uns nur zu vergegenwärtigen, daß, wenn die Linienfläche R der Fläche S 
längs der Haupttangentenkurve a umschrieben ist, die Punkte dieser 
Kurve auf dem Paraboloid P 0 ein und dieselben Lagen einnehmen, 
mag nun S oder R auf P 0 ausgebreitet werden.