§ 300. Wechselbeziehung zwischen S und S x . 
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Nach diesen Vorbemerkungen werden einige einfache geometrische 
Betrachtungen zeigen, wie die festzustellende Eigenschaft mit Eigen 
schaften der Ivorysehen Verwandtschaft zwischen den beiden kon- 
fokalen Flächen zweiten Grades zusammenhängt. 
Es seien g, y zwei beliebige entsprechende Erzeugenden von P, P x 
und F, F x zwei entsprechende Punkte auf ihnen. Wird die Linien 
fläche R auf das Paraboloid P 0 abgewickelt, so kommt die Gerade g 
mit einer Erzeugenden g x von P 0 zur Deckung, und die entsprechende, 
an g gekoppelte Gerade y nimmt auf dem konfokalen Paraboloid P k 
eine gewisse Lage g 2 ein; jede Strecke FF 1 deckt sich mit einer gleich 
langen Strecke M 1 M 2 , die in dem einen Endpunkte M 1 P 0 berührt 
und deren anderer Endpunkt M 2 auf der Erzeugenden g 2 von P k liegt. 
Nun seien g x , g 2 die Geraden auf P k bzw. P 0 , die bei der Ivoryschen 
Verwandtschaft den Geraden g x bzw. g 2 entsprechen, und analog seien 
M x , M 2 die bei dieser Verwandtschaft M x bzw. M 2 entsprechenden 
Punkte. Wenn die behauptete Eigenschaft wirklich vorhanden 
ist, so muß, da bei der Abwicklung von R x auf P 0 die Gerade y 
eben die Lage g 2 einnimmt, die an y gekoppelte Gerade g die Lage g t 
auf P k einnehmen und müssen die Strecken FF X auf die Strecken M 2 M x 
fallen. Demnach muß es eine unveränderliche Bewegung geben, die 
das Geradenpaar g x , g 2 mit den Punkten M x bzw. M 2 in das Geraden 
paar g x , g 2 mit den Punkten M x bzw. M 2 überführt. Zwei von diesen 
vier Geraden g x , g 2 - g x ,g 2 , z. B. g x ,g 2 , sind im wesentlichen völlig will 
kürlich, und wir sind auf diese Weise genötigt, eine elementare Eigen 
schaft der Ivoryschen Verwandtschaft zu beweisen, aus der wir dann 
umgekehrt die behauptete Eigenschaft der Transformationen JB k werden 
folgern können. 
§ 301. Weitere Eigenschaften der Ivoryschen Verwandtschaft und 
Abschluß des Beweises. 
Sind M x = (x x , y x , 2 X ), M 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) zwei beliebige Punkte des 
Paraboloids P 0 , M x = (x x , y x , z x ), M 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) die ihnen durch 
die Ivory sehe Verwandtschaft entsprechenden Punkte, so haben wir 
293, S. 543: 
-\/p — k 
- )/ p x i, 
Vi 
4 
z x — z x -f- —, 
94 
fTl* 
11 
C'l 
1« 
y 2 
• 1 T*- 
z <2 = Z 2 + ~2 ' 
Wir behaupten nun die folgenden Eigenschaften: 
1) Ivoryscher Satz; Die Strecken M X M 2 und M 2 M X sind 
immer gleich lang.