§ 306. Differentialgleichungen für die Funktion at («, v). 
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worin s gleich -j- 1 5zw. — 1 ist, je nachdem in unseren Gleichungen die 
oberen oder die unteren Vorzeichen gelten, so gehen die letzten Glei 
chungen über in: 
(I) 
d& 
sa'b'c' \ 
r v 
+ 
DU+D'Vi 
du 
k \ 
L(u + v) s e 
2YabcQ -1 ’ 
d& 
sa'b'c’ \ 
r - u 
+ 
D' U+D"V~\ 
d v 
k 
L (u -f v)*Q 
2 yabcq -1 
Dies sind die Differentialgleichungen für die unbekannte Funktion 
&(u, v), die im vorliegenden Falle der Biegungsflächen S des eiuschaligen 
Hyperboloids an Stelle der Gleichungen (I), § 288, S. 533, treten und 
die Gruppierung der oo 3 Facetten f\ zu den gesuchten oo 1 Flächen S y 
regeln. Es sei darauf hingewiesen, daß diese Gleichungen (I) einen 
ganz ähnlichen Bau wie die entsprechenden Gleichungen für die Bie 
gungsflächen des Paraholoids aufweisen und für den Parameter: 
1 — sin & 
cos & 
ebenfalls einer einzigen totalen Differentialgleichung vom Riccatischen 
Typus äquivalent sind. 
§ 307. Unbeschränkte Integrabilität des Gleichungensystems. 
Nachdem so die grundlegenden Differentialgleichungen für unser 
Problem aufgestellt sind, haben wir nun vor allem sowohl ihre Ver 
träglichkeit als auch ihre unbeschränkte Integrierbarkeit nachzuweisen. 
Dazu müssen wir den Ausdruck: 
v , du+d'v-] _ a_r U_ 
du L(m 4- 
i_f : + 
d v L(M -j- v)~q r 
D ' u +-P w Vj 
’i’^ahcQ -I d u \_{uv) 2 q 2j/abcQ 
bilden und beweisen, daß eben infolge der Gleichungen (I) (und der 
Gauß-Codazzischen Gleichungen) £1 identisch verschwindet. Zunächst 
finden wir: 
V — U’ V d /l\ U a /l\ 2jU—V) , D’{V—U') 
(u -f- v) 2 g (u -|- v) 2 d v Vp/ (m + v) s du \q) 
DÜ+D'V d (1_\ _ D'U+D" V d I l_\ 
du\y-j 
(M + v) 8 e ' 
2 ~\/ahcQ 
+ 
2 ]/abc vvKy^/ 2}/abc 
1 
f jj(~ — — v(— ^-'11 4- 
2j/a&cpL \dv du) \ du dv)J ^ 
sa'b'c’ dVr 
U 
+ 
D'U+D”V-] 
a'b’c' dUf V 
k{u-\- v)*Q d& L(M-f v)*Q 1 2}/abcQ 
sa'b’c' VTr/-r\dU . t%/0 F\ 
DU+D'Vl 
+ d&Uu + vy-Q r ^YabcQ J 
+ 
2ky abc(u -f- v)*q 
+ D ‘U) - r ( B 'u + B "u)] + 
u 
dr\ 
d&j