620 Kap. 21. Transform. B k d. a. andere Flächen zweiten Grades abwickelb. Flächen.. 
Nun ist es lehrreich, der Bedeutung der für die Transformationen 
B k festgestellten Haupteigenschaften im jetzigen speziellen Falle nach 
zugehen. Auf diese Weise finden wir zum Teil schon bekannte Eigen 
schaften der Bäcklundschen Transformationen, aber außerdem auch 
eine neue interessante Eigenschaft. 
1) Bekanntlich entsprechen einander auf den beiden Brennmänteln 
S, S x eines beliebigen von unseren Strahlensystemen die Haupttangenten- 
kuryen und außerdem die dauernd konjugierten Systeme. Nun ist für 
eine auf die (reelle oder imaginäre) Kugel abwickelbare Fläche das 
dauernd konjugierte System dasjenige der Krümmungslinien, da es eben 
das einzige ist, das auf der Kugel konjugiert (orthogonal) bleibt. Aus 
den allgemeinen Eigenschaften der Transformationen JB k ergibt sich 
also im vorliegenden Falle der Satz: 
Die Bäcklundschen Transformationen der pseudosphäri 
schen Flächen führen die Haupttangentenkurven bzw. Krüm 
mungslinien wieder in solche Kurven über. 
Die weitere Eigenschaft der Bäcklundschen Transformationen, 
daß die Bogenlänge von Haupttangentenkurven nicht geändert wird, 
kommt nur diesem besonderen Falle zu und hat bei den allgemeinen 
Transformationen B k der Biegungsflächen von Flächen zweiten Grades 
kein Analogon. 
2) Zu wesentlich neuen Ergebnissen dagegen führt uns die Be 
trachtung des Abwicklungsgesetzes für die beiden Brennmäntel S, S t 
eines unserer W-Strahlensysteme, das, wie wir wissen, durch die Ivory- 
sche Verwandtschaft gegeben ist. Aber im vorliegenden Falle sind die 
beiden Brennmäntel nicht nur auf endlich viele Weisen, sondern sogar 
auf oo 3 Weisen aufeinander abwickelbar, da sie ja dieselbe konstante 
Krümmung haben. Die Ivor y sehe Verwandtschaft zwischen den beiden 
konzentrischen Kugeln: 
æ 2 + y 2 + £ 2 + 1 = 0, 
x\ + y\ + + sin 2 tf = 0 
liefert uns daher hier eine von den oo 3 Abwicklungsarten. Um zu er 
kennen, wie diese geometrisch gekennzeichnet ist, gehen wir auf die 
jetzt vorliegenden Formeln für die Verwandtschaft ein. Sie lauten: 
x x — x sin 6, y x = y sin u, = s sin ö, 
nnd wir ordnen zwei Funkte dieser Kugeln auf ein und demselben Radius 
einander zu. Wird nun S auf die erste Kugel mit dem Mittelpunkte O 
abgewickelt, so wird der Fokalabstand F F x , gleich coso, eine Strecke 
MM X , welche die erste Kugel in M berührt und deren anderer End 
punkt M t auf der zweiten Kugel liegt. Der Punkt M', der auf der