622 Kap. 21. Transform. B k d. a. andere Flächen zweiten Grades abwickelb. Flächen.
ist, und wenn wir seinen Radius mit 8 bezeichnen, so erhalten wir aus
der Gleichung auf S. 433:
cc
sin a 1
cc ctg a cos a ’
und das ist gerade die Gleichung (47).
Zum Schlüsse wollen wir noch bemerken, daß die Abwicklungs
gleichungen (48) und auch der Satz in dem speziellen Falle der Komple
mentärtransformation (<? = 0) ihren Sinn verlieren, da dann das ganze
reelle Gebiet von S t auf S ins Unendliche rücken würde. In diesem
Falle gehen die Gleichungen (45) über in:
8 cp sinqp 8 cp 1 — COS cp
d cc cc ’ 8 ß cc ’
ihre Integration ergibt;
% | = ( c = Const.) .
Die Kongruenzstrahlen umhüllen dann eine Schar geodätischer
Parallelen, im besonderen für die Lösung: cp = 0 (c = oo) die geo
dätischen Linien ß = Const.
§ 328. Bemerkungen über den Vertauschbarkeitssatz.
Die Untersuchungen über die Verbiegungen der Flächen zweiten
Grades, die wir in diesen drei letzten Kapiteln entwickelt haben, lassen
wohl zur Genüge erkennen, daß die so geschaffene Theorie der Trans
formationen JB k für die Biegungsflächen aller Arten von Flächen zweiten
Grades hinsichtlich ihrer Methoden und Ergebnisse der Theorie der
Bäcklundschen Transformationen der Flächen konstanter Krümmung
völlig analog ist, wie wir bereits zu Beginn des Kap. XIX bemerkt
haben.
Wenn wir uns jedoch überlegen, welchen Vorteil wir eigentlich
damit für die wirkliche Bestimmung von Flächen dieser Art, d. h. für
die Integration der entsprechenden Differentialgleichung zweiter Ord
nung für die Abwickelbarkeit, erreicht haben, so sehen wir, daß bei
dem jetzigen Stande der Theorie noch diejenige Vervollkommnung der
Transformationsmethoden fehlt, die uns für die Bäcklundschen Trans
formationen der pseudosphärischen Flächen durch den Vertauschbarkeits
satz vermittelt wurde (§ 260, S. 466).
Ist nämlich eine auf eine Grundfläche Q zweiten Grades abwickel
bare Ausgangsfläche S gegeben und wollen wir ihre oo 1 Transformierten,
die aus ihr mittels einer Transformation B k hervorgehen, wirklich be-
