Kapitel XXII. 
Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
Krummlinige Koordinaten im Raume. — Der Darboux-Dupinsche Satz über drei 
fache Orthogonalsysteme und Folgerungen daraus. — Differentialgleichungen für die 
Richtungskosinus des Haupttrieders. — Lamésche Gleichungen. — Liouvillescher 
Satz von den konformen Abbildungen des Raumes. — Hauptkrümmungsradien der 
Flächen eines dreifachen Systems. — Krümmung und Torsion der Parameterlinien. — 
Äquidistanzkurven. — Cayleysche Gleichung. — Combescuresche Transformation. 
j§ 329. Krummlinige Koordinaten im Raume. 
Wie wir uns zur Bestimmung der Lage eines Punktes auf einer 
gegebenen Fläche auf dieser zwei Scharen von Kurven u, v derart 
gezogen gedacht hatten, daß durch jeden Punkt der Fläche (oder 
eines passenden Stückes der Fläche) eine Kurve jeder Schar geht, 
ebenso können wir auch die Lage eines Punktes im Raume mit Hilfe 
dreier einander schneidender Flächen bestimmen, von denen jede inner 
halb einer einfach unendlichen Schar variiert. Wir brauchen uns hierzu 
nur den Raum (oder ein Gebiet desselben) von drei Scharen von oo 1 
Flächen derart durchfurcht zu denken, daß durch jeden Raumpunkt 
eine einzige Fläche jeder der drei Scharen hindurchgeht. Ordnen wir 
dann jede Fläche einer der drei Scharen eindeutig den Werten eines 
Parameters bzw. p 2 , p 3 zu und kennen wir die Werte der Parameter 
der drei Flächen, die sich in einem Raumpunkte P durchkreuzen, 
Pl = a i } (*2 = ’ 9ä = a äf 
so ist der Punkt dadurch bestimmt. Wir nennen a v a 2 , a 3 die krumm 
linigen Koordinaten von P und die Flächen der drei Scharen: 
= Const., q 2 = Const., p 3 = Const. 
die Parameterflächen. Sind 
(!) (h i x > V) z ) = Qi> Qt(x, y>z) = (>2; Qs(x,y,z) = Qs 
die Gleichungen der drei Flächenscharen, so erhalten wir durch ihre 
Auflösung nach x, y, z (wenigstens in dem betrachteten Raumgebiet 
muß die Auflösung möglich sein): 
(2) x — x v , p 2 , p 3 ), y — y (p 1; p 2 , p 3 ), z = z (p x , p 2 , p 3 ). 
Bia uchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 40