628 Kap. 22. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
Es ist demnach notwendig und hinreichend, daß für die totale Diffe 
rentialgleichung : 
dz = 0 
die Integrabilitätsbedingung: 
(6) 2 
8 Ql 8 Ql 
' 
<s 
cz> 
8 Qi dQi 
1 ** 
d_ 
dz dx 
_ d_ 
dx dy 
hi hi 
dz 
hi hi 
dy 
8 Q a 8q 2 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
4 
-o, 
wo sich die beiden anderen Glieder hinter dem Snmmenzeichen aus 
dem angegebenen durch zyklische Vertauschung von x, y, z ergeben, 
erfüllt sei. 
Addieren wir zur linken Seite yon (6) die Summe: 
3?! 8q x ^ 
(hi V hji _ hi V hM 
dx 2 dx ¿-J dx 2 J* 
2 
dy dz 
h ^ 
dy dz 
die identisch gleich Null ist, so geht (6) über in: 
h hi 
dy dz 
d Qj d 
dy dz 
(6*) 
2 
ÖQi 8 2 q 2 . dç 1 d 2 q 2 . 8q x d 2 q 2 
+ 
dx dx 2 dy dxdy ' dz dxdz 
+ 
dQi d 2 Qi 
8q 2 d 2 Qi 
8 Qi 
8'qi \ 
dx dx 2 
dy dxdy 
dz 
dx dz) 
)- 
Aus (5) folgt aber durch Differentiation nach x: 
[hl hîi t 
\dic dx 2 " r 
dy dxdy dz dxdz, 
) = 
'8Qi 8 2 Q t . 8qi d 2 Qi . dg x d 2 Q a 
+ 
+ 
K dx dx 2 dy dxdy dz dxdz) 
Also ist die Integrabilitätsbedingung (6*) äquivalent der Gleichung: 
OQl 8 Qx 
m 
2 
dy 
h 
dy 
dz 
8q 2 
dz 
8qi 8 2 Qi . 8Qi d 2 g a . dQi 8 2 q 2 
+ 
+ 
dx dx 2 dy dxdy dz dxdz, 
¡)-°- 
Diese Gleichung können wir nun folgendermaßen geometrisch 
deuten: Wandern wir längs der Schnittkurve zweier Flächen der Scha 
ren p 2 : 
Qih; y) &) ~ Qd Qsfaf Vi z ) — Qi