§ 331. Folgerungen aus dem Darboux-Dupinschen Satze. 
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tialquotienten der Funktion (x, y, z) ausdrücken lassen; es ist dem- 
nacli (8) für p 1 eine partielle Differentialgleichung dritter Ordnung, die 
wir in § 336 wirklich aufstellen werden. Aus der Integration dieser 
Gleichung würden sich alle dreifachen Orthogonalsysteme ergeben. 
Als unmittelbare Folgerungen aus diesen allgemeinen Ergebnissen 
führen wir hier einige einfache Fälle von dreifachen Orthogonalsyste 
men an. Betrachten wir eine beliebige Schar von oo 1 Ebenen oder 
Kugeln und ihre Orthogonaltrajektorien und wird auf einer Ausgangs 
kugel oder in einer Ausgangsebene eine beliebige Kurve L fest gewählt, 
so bilden diejenigen Orthogonaltrajektorien, die von den Punkten von 
L ausgehen, eine Fläche Z, die von allen Kugeln bzw. Ebenen der Schar 
orthogonal und daher längs Krümmungslinien geschnitten wird. Also: 
Jede Schar von oo 1 Ebenen oder Kugeln gehört unend 
lich vielen dreifachen Orthogonalsystemen an. 
Dm eins derselben zu erhalten, brauchen wir nur auf einer Aus 
gangskugel oder in einer Ausgangsebene zwei Scharen von orthogo 
nalen Kurven L und L' beliebig zu ziehen, dann vervollständigen die 
entsprechenden Flächen Z und Z' das dreifache Orthogonalsystem. 
Nehmen wir speziell als Ebenenschar ein Ebenenbüschel, so sind die 
Flächen Z, Z' Rotationsflächen, deren Drehachse die Achse des 
Büschels ist. 
Endlich bemerken wir: 
Jede Schar von Parallelflächen gehört einem dreifachen 
Orthogonalsystem an. Die Flächen der beiden anderen Scha 
ren sind die abwickelbaren Ortsflächen der Normalen längs 
der Krümmungslinien der Parallelflächen. 
§ 332. Differentialgleichungen für die Richtungskosinus des 
Haupttrieders. 
Wir nehmen an, es liege ein dreifaches Orthogonalsystem (i> x , i> 2 ? ^s) 
vor, das dem folgenden Ausdruck für das Quadrat des Linienelements 
entspreche: 
(9) ds 2 = H\d Q \ + H\dQ| q- E\dg|. 
Zur Vermeidung von Doppeldeutigkeiten hinsichtlich der Vorzeichen in 
den Gleichungen schicken wir die folgenden Bemerkungen voraus: Die 
Funktionen H‘(, H%, H: sind als Quadratsummen stets positiv und 
höchstens in isolierten Punkten oder längs isolierter Kurven gleich Null. 
Den Änderungsbereich von Q t , p 2 , q 3 wollen wir stets als so abgegrenzt 
annehmeu, daß diese Funktionen überall positiv und von Null 
verschieden bleiben. Ferner setzen wir sie nebst ihren ersten und