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§ 336. Äquidistanzkurven und Cayleysche Gleichung. 
Die Normalenebene in einem Punkte einer Äquidistanz- 
kurve auf einer Fläche p 3 = Const. fällt mit der Schmiegungs 
ebene der Orthogonaltrajektorie p 3 dieser Fläche durch den 
betreffenden Punkt zusammen. 
Die Gleichung (15): 
durch welche die Krümmung dieser Orthogonaltrajektorie bestimmt 
wird, läßt sich auch wie folgt schreiben: 
(18) -±-~ y-ATTog ST - ]/Aj log n, 
wenn Aj den ersten Differentialparameter für das Quadrat des Linien- 
eleraents der Fläcfte p 3 = Const. und sn das unendlich kleine Stück 
der Normale der Fläche p 3 = Const. bis zur nächsten Fläche bedeutet, 
wobei s eine unendlich kleine Konstante und n eine Funktion von p 1 
und p 2 ist. Zu beachten ist, daß sowohl der obige Satz als auch die 
Gleichung (18) allgemein für ein beliebiges System von Flächen und 
deren Orthogonaltrajektorien gelten. 1 ) 
In unserem Falle aber, wo es sich um dreifache Orthogonalsysteme 
handelt, muß die Funktion n infolge der dritten Lame sehen Gleichung 
(A) noch der Gleichung: 
o^n 1 dÄj dn 1 dHi dn 
dg 1 dg i H, dg 2 dg x H 3 dg x dg* 
oder unter Anwendung der Bezeichnung für die kovarianten Differen 
tialquotienten bezüglich der Fläche p 3 = Const. (§ 26, S. 45) noch 
der Gleichung: 
n 12 = 0 
genügen. 
Diese Gleichung, auf die wir bereits bei verschiedenen Unter 
suchungen, speziell bei der Frage nach den Zykelsystemen, zu denen 
eine gegebene Fläche gehört, gestoßen sind, ist in der vorliegenden Be 
deutung von Cayley angegeben worden und möge als die Cayleysche 
Gleichung bezeichnet werden. 
Aus den Eigenschaften der kovarianten Differentialquotienten 
(Kap. II) geht sofort hervor, daß für eine beliebige Fläche S in einem 
1) S. Morera, Sui sistemi di superficie e le loro traiettorie ortogonali. 
Rendiconti del Reale Istituto Lombardo, 4. März 1886. 
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 
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