§ 355. Partielle Differentialgleichungen für die Funktion co. 
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nach der analytischen Seite in der von Darboux 1 ) angegebenen Weise 
abgeändert und vereinfacht sind. 
Zunächst können wir für den Ausdruck B in (9) die drei folgen 
den Gleichungen aufstellen: 
(«) 
B 
COSCO 
B 
sin CO 
d / 1 d*co \ 
3p 2 Veosco dçj^dçJ 
= ±(j_ . _» 
ap t Vsinco ëQzdQa/ cos 
a 2 « 
iß) 
B 
3 (. 
SintOCOSü) ÍPi V 
folgen zwischen den 
ten: 
G 
COS 05 — 
D sin CO 
8 l 
B \ 
dC 
d PO 
,cos co) 
d^ 
B \ 
dB 
d pj 
^sin C0/ 
ap! 
1 dco d*co 
sin co d p, d p 2 d Q s ’ 
dco a 2 co 
ta ëçj^dQs ’ 
ÖQ 2 dQ s 
)+ a 4( t s“»BV.) 
3A 
ap s ’ 
JS aco . -ß dco 
sin £0 d Ci ' a p 2 
d*co 
B dco 
c 
dco 
sin co a Qi ap s * 
A d 3 co 
coscoap 2 ^ a?i coscoa^aps 
Nun setzen wir co als eine reguläre analytische Funktion von 
i>i, p 2 > i>3 voraus, die 
A = 0 für alle Werte pj, p 2 , q s 
und 
B = 0, D = 0 für = 0 
genügen möge, und wollen dann zeigen, daß co dem System (9) für 
alle Werte Q lf p 2 , p 3 genügt. Dazu reicht der Nachweis aus, daß für 
alle Werte der q B und I) gleich Null sind, denn dann folgt aus der 
ersten Identität (ß), daß auch G gleich Null ist. Da nun 
B = 0, D = 0 für == 0, 
also auch 
0=0 für i>! == 0 
ist, so folgt aus (ß): 
dB 
^ = 0 
» Pt ' 
ap. 
= 0 für == o. 
Differenzieren wir (ß) weiter nach p/ und setzen wir dann gleich 
Null, so ergibt sich: 
apx 2 
^ = o, |*-o 
^pi 8 ^Pi 
usw., wenn immer weiter nach ^ differenziert wird. Da B, 0, D 
Taylor sehe Reihen in sind, die samt allen ihren Ableitungen für 
= 0 verschwinden, so verschwinden sie identisch, w. z. b. w. 
1) Leçons sur les systèmes orthogonaux, 1. Bd., S. 312 if.