§ 357. Beispiele.
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als Meridiankurve haben, aber binsicbtlicb der Ganghöhe und also auch
der Krümmung untereinander verschieden sind. Da hier die Kugeln,
deren Radius gleich dem von der Asymptote abgeschnittenen konstanten
Stück der Traktrixtangente ist und deren Mittelpunkte die Achse erfüllen,
die Dinischen Schraubenflächen orthogonal schneiden, so folgt aus
dem Darbouxschen Satze, daß die Schar dieser Schraubenflächen eine
Lamésche Familie ist. Setzen wir der Einfachheit halber das konstante
Tangentenstück gleich Eins, so ergeben sich zur Bestimmung des zu
gehörigen dreifachen pseudosphärischen Orthogonalsystems unschwer
die Gleichungen:
(12) cos 03 = tgh r, sino^^,
worin
(12*) X = Q t + p 2 tgh Q 3 + i>(ç s ), B = cosh s o 3
ist.
Dieses System, dessen Bestimmungsgleichungen sich unschwer ex
plizite angeben lassen, ist nur ein besonderer Fall von solchen, die eine
Schar Ennep er scher Flächen konstanter Krümmung enthalten.
Bei jeder solchen Fläche liegt nämlich die eine Schar Krümmungs
linien in Ebenen durch eine feste Gerade, die andere auf Kugeln, deren
Mittelpunkte diese Gerade erfüllen und welche die Flächen orthogonal
schneiden. Daraus folgt:
Jede Ennepersche Fläche konstanter Krümmung er
zeugt durch Drehung um die Achse eine Lamésche Flächen
familie.
§ 358. Bäcklundsche Transformation dreifacher
pseudosphärischer Systeme.
Wir stellen uns nun die Aufgabe, nachzuweisen, daß die Trans
formationstheorie der Flächen konstanter negativer oder positiver
Krümmung, wie wir sie in Kap. XVII und XVIII entwickelt haben, nicht
nur auf einzelne Flächen, sondern auch insgesamt auf alle Flächen
konstanter Krümmung einer L am eschen Familie zur Ableitung neuer
Lame scher Familien angewandt werden kann.
Wir beginnen auch hier mit reellen Bäckl und sehen Trans
formationen, die wir auf pseudosphärische Lame sehe Flächenfamilien
anwenden. Wir setzen also voraus, es liege ein dreifaches pseudo
sphärisches Orthogonalsystem vor, in dem das Quadrat des Linienelements
des Raumes die Form (8):
ds 2 = cos 2 cod^ 2 -!- sin 2 ct»i?p 2 2 -i- cIq 3 2
