478 Kap. 18. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensy sterne. 
Wir nehmen nun an, dass jede Fläche einer der drei Scharen alle 
Flächen der anderen beiden Scharen orthogonal schneide. Die not 
wendigen und hinreichenden Bedingungen hierfür sind die Gleichungen: 
/¿12 == 0; /ha === ^7 /¿23 == 
In diesem Falle wird die dreifache Flächenschar q 17 q 2 , q 2 ein drei 
faches Orthogonalsystem genannt. 
Wir haben somit das Ergebnis: Das Quadrat des Linien 
elements des Raumes nimmt in einem dreifachen Orthogonal 
system die Form; 
ds 2 = H^dQ* + H*dQ* -f H*d Q * 
a n. 
§ 268. Darboux-Dupin’seher Satz. 
Wir gehen nun zur Untersuchung der dreifachen Orthogonal 
systeme über und leiten zunächst den grundlegenden Satz von Du pin 
ab, der von Darhoux erweitert worden ist*). 
Wir nehmen an, dass zwei Flächenscharen: 
y, z) = q. 2 (x, y, z) = q 2 
orthogonal zu einander seien, und sehen zu, welche Bedingungen erfüllt 
sein müssen, damit es eine dritte Schar: 
Q-Ä x , y, z) = (J, 
gebe, die zu beiden orthogonal ist. Infolge der getroffenen Voraus 
setzung ist: 
/ - '( Qi d Ca I i Pi ^ Cä j ^ Qi £ ?2 q 
^ ' .dx dx ' dy dy ' dz dz ’ 
und im Falle des Vorhandenseins der dritten Schar muss die unbe 
kannte Function y, z) den beiden Gleichungen: 
< Qr d Qi _i С Рз £J?i _i О C Qi q 
dx dx ‘ dy dy ‘ dz dz ’ 
d(h ¿Qi i dQ 2 , dos dQs _ (j 
dx dx ‘ dy dy ' dz dz 
genügen, d. h. es muss die Proportion bestehen: 
*) Annales de l’Ecole Normale Supérieure, 3. Bd., 186G. — Die Ausfüh 
rungen im vorliegenden und im folgenden Paragraphen sind ohne Änderung der 
Darboux’schen Abhandlung (S. 110 ff.) entnommen.