¡riHHMMü 
(D’) 
< D) 
Q\ 
285 
LA. GEOM KTIUE A'0'î-J:L'CLIÎJîE\>E -d.il 
s'y trouvait pas. C'est le système cio Sacôhcri, qui renaquit au 
xiv 0 siècle sous le nom de géométrie non-euclidienne ou géométrie 
de Lohatschschejjsky. 
823. — L’hypothèse que Lobatscheffsky et Colyai substituent à 
l’hypothèse euclidienne sur les droites parallèles peut être pré 
sentée comme il suit : 
Considérons une droite indéfinie (D), et un point P hors de 
celte droite. Par ce point P faisons passer 
une droite (E) qui coupe la droite (D) au 
point Q. Lorsque, laissant fixe le point P, 
nous faisons tourner la droite (E) autour de 
ce point, le point Q se déplace sur (D) ; et 
réciproquement, pour faire tourner la droite 
(E) autour du point P, il suffit de déplacer le point Q le long de (D). 
Imaginons alors que le point Q s’éloigne indéfiniment le long 
de (D) soit vers la droite, soit vers la gauche. Le cinquième Postu 
lat d Euclide revient a admettre que, dans ces conditions, la droite 
tournante (E) tend vers une position-limite [droite D 7 ] qui est la 
pleine dans les deux cas (') ; la droite (IL) est la parallèle à (D) 
menée par le point P (fig, 282). 
L hypothèse de Lobatscheffsky et Bolyai revient à supposer que 
la droite (E) tend vers des positions-limites 
differentes suivant que le point Q s’éloigne 
(F indéfiniment vers la droite ou vers la gauche. 
Appelons (D') et (D") ces deux droites- 
■(D) limites. Elles ne rencontrent la droite (D) 
ni l’une ni l’autre et l’on démontre facile 
ment que toute droite — telle que (F) sur 
la fig. 288 — située entre ( 2 ) (D) et (D) ne peut non plus ren 
contrer (D) et (D'). Ainsi — si l’on veut conserver la définition 
ordinaire des droites parallèles (75) — on devra dire que, dans 
l’hypothèse lobatscheffskyenne, on peut, par un point P, mener 
une infinité de droites parallèles à une droite donnée ; mais on 
(*) A priori, il n’y a évidemment point de raison pour qu’il en soit 
ainsi. C’est pourquoi le postulat d’EucniDE no s’impose point. 
( 2 ) Plus précisément dans ceux des quatre angles formés par (D) et(D') 
qui ne contiennent pas la perpendiculaire abaissée de P sur (D). 
nm 
Fig. a83. 
Ml I 
P I