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Esempio. — Vogliasi trasformare l’espressione V dell’esempio
precedente in un'altra in cui si prendono per variabili r ed a legate
alle oo e y dalle relazioni
x — r cos a, y~r sen a ,
ed a è la variabile indipendente.
Trasformata l’espressione di V in modo che a risulti la variabile
indipendente, si trovò
v= ( d ^+ d y f f .
dx dhj — dy d?x ’
differenziando le relazioni date si ricava
onde
e
quindi
dx = cos adr — r sen a da,
dy — sen adr -\-r cos a da,
dx* -f- dy’ 1 — dr 1 -(- r 1 da 2 ,
d}x = cos a d}r — 2 sen adr da — r cos a da 1
d n y = sen a d}r 2 cos adr da — r sen a da 5 ,
dx d'y — dy d*x = — rd‘ l rda -\-2dr i da -f- r*cia 3
ed infine
3
(dr 2 + r 2 d a 2 ) 2
— rdtrda + 2 dr 2 da + r 2 da 3 "
140. — Sia z funzione di a? ed y; si sostituiscono ad x ed y
due altre variabili t, u legate ad esse da relazioni note, che per
mettono di esprimere x e y in funzione di t e u, e reciprocamente.
Si vogliono esprimere le derivate parziali di z rispetto ad x e y
in funzione delle derivate parziali di z rispetto a t ed u.
La regola di differenziazione delle funzioni composte, considerando
2 funzione di t ed u, funzioni di x ed y, dà
dz dz dt . dz du
dx dt dx ‘ du dx ’
dz dz dz du
dy dt dy ' du dy ’