Full text: Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale

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Esempio. — Vogliasi trasformare l’espressione V dell’esempio 
precedente in un'altra in cui si prendono per variabili r ed a legate 
alle oo e y dalle relazioni 
x — r cos a, y~r sen a , 
ed a è la variabile indipendente. 
Trasformata l’espressione di V in modo che a risulti la variabile 
indipendente, si trovò 
v= ( d ^+ d y f f . 
dx dhj — dy d?x ’ 
differenziando le relazioni date si ricava 
onde 
e 
quindi 
dx = cos adr — r sen a da, 
dy — sen adr -\-r cos a da, 
dx* -f- dy’ 1 — dr 1 -(- r 1 da 2 , 
d}x = cos a d}r — 2 sen adr da — r cos a da 1 
d n y = sen a d}r 2 cos adr da — r sen a da 5 , 
dx d'y — dy d*x = — rd‘ l rda -\-2dr i da -f- r*cia 3 
ed infine 
3 
(dr 2 + r 2 d a 2 ) 2 
— rdtrda + 2 dr 2 da + r 2 da 3 " 
140. — Sia z funzione di a? ed y; si sostituiscono ad x ed y 
due altre variabili t, u legate ad esse da relazioni note, che per 
mettono di esprimere x e y in funzione di t e u, e reciprocamente. 
Si vogliono esprimere le derivate parziali di z rispetto ad x e y 
in funzione delle derivate parziali di z rispetto a t ed u. 
La regola di differenziazione delle funzioni composte, considerando 
2 funzione di t ed u, funzioni di x ed y, dà 
dz dz dt . dz du 
dx dt dx ‘ du dx ’ 
dz dz dz du 
dy dt dy ' du dy ’
	        
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