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In welcher Weise diese Vertheilung sowohl bei sphärischen als
ebenen Dreiecken zu geschehen habe, hängt davon ab, ob alle drei
Winkel mit gleicher Genauigkeit gemessen sind oder nicht. Sind
alle Winkel gleich genau, so wird die Differenz a —- s / gleichheit-
lich vertheilt; ist aber die Genauigkeit verschieden, so vertheilt man
die Grösse e — a' mit Rücksicht auf diese Genauigkeit nach der
Methode der kleinsten Quadrate, wovon im §. 268 so weit die Rede
ist, als es die Anwendung dieser Methode auf den vorliegenden Fall
erfordert.
§. 267.
Aufgabe. Man soll den sphärischen Excess eines
geodätischen Dreiecks bestimmen.
Obwohl die Seiten eines Dreiecks, das einem trigonometrischen
Netze für eine Landes- oder Gradmessung angehört, in Wirklichkeit
keine grössten Kreise einer Kugel, sondern richtiger Vertikalschnitte
des Erdsphäroids und, ganz streng genommen, geodätische Linien
sind: so pflegt man doch den sphärischen Excess eines solchen Drei
eckes so zu berechnen, als ob es ein Kugeldreieck wäre, und man
ist dazu berechtigt, weil der hieraus entspringende Fehler ganz un
merklich wird, indem selbst die grössten geodätischeu Dreiecke nur
einen ausserordentlich kleinen Theil der Erdoberfläche umschliessen.
Wir werden zunächst den sphärischen Excess aus den drei
Seiten eines beliebigen Dreiecks (das also kein geodätisches zu seyn
braucht! bestimmen und hierauf zeigen, wie man daraus den Excess
der Erddreiecke findet, wenn entweder auch drei Seiten, oder zwei
Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel, oder eine Seite
und zwei ihr anliegende Winkel bekannt sind.
Bezeichnen a, b, c die gegebenen Seiten und A, B, C die ihnen
gegenüberliegenden Winkel des sphärischen Dreiecks ABC, dessen
Excess
« = A + B + C — 180°
gesucht wird, so kann man nach Gent (Grunerts Archiv Bd. 20,
S. 358) aus den Gauss’schen Formeln:
cos 1 / 2 (A ~f B) cos % c = cos '/ 2 (a + b) sin y 2 C,
sin y 2 (A -f B) cos y 2 c = cos % (a — b) cos 1 / 2 C
zunächst die folgenden Gleichungen bilden:
cos '/ 2 (A + B) + cos (90° — */ 2 C) __ cos '/ 2 (a b) cos */ 2 c,
sin */ 2 C — cos y 2 c
Bauern feind, Vermessungskunde. II. 8
