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x = 0, x = a 
beständig positiv bleibt. Hier gibt es nun zwei Fälle. Der 
positive Werth von (p («) wird nämlich zwischen den Grenzen 
0 und 1 liegen, oder er wird die Einheit übersteigen. Wir 
wollen diese beiden Fälle nach einander untersuchen. 
Zuvörderst wollen wir annehmen, daß q> (a) zwischen 0 
und 1 liege; so wird diese Größe dem Cosinus irgend eines 
Bogens 0 gleichgesetzt werden können, welcher zwischen 0 und 
~ fällt; so daß also 
cp (a) — cos. 0 
ist. Wenn man außerdem in der unter die Form 
<p (y + x ) = ( x ) ■ <p (y) — <p (y—*) 
gebrachten Gleichung (1) successive 
x — a, y = a, 
x = a, y = 2«, 
x — y — 3a, 
etc 
setzt, so wird man folgende Formeln erhalten: 
(p (2«) — 2 cos. Ö 2 — 1 = cos. 2 6, 
<p (3 a) == 2 cos. 0. cos. 2 0 — cos. 0 = cos. 3 0, 
<p (4«) = 2 cos. 0. cos. 3 0 — cos. 26 = cos, 4 0, 
und allgemein, wenn m eine beliebige ganze Zahl ist, 
q) (mct)=2cos, 0. cos. (in—1) 0—cos. (m—2) 0 — cos. m 0. 
Uebrigens gilt die Formel 
<p (in«) = COS.IN0 
auch dann noch, wenn für in ein Bruch substituirt wird, also 
überhaupt für m=/n, wenn (x eine beliebige Zahl ist. Setzt 
man nämlich in der Gleichung (1), x = |a, y = ±u, so 
4 
— (cos. 4- 0) 2 . 
Zieht man auf beiden Seiten die Quadratwurzel aus, welche 
positiv genommen werden muß, weil (p (x) zwischen den Gren 
zen x --- 0 und x = « ( und cos. x zwischen den Grenzen 
x ---0, x = ö positiv ist, so findet man