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k
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wenn n beständig wächst, und bezeichne durch k die
größte dieser Grenzen, oder, mit andern Worten,
die Grenze der größten Werthe des besagten Aus
drucks. Erhält man k<C 1, so ist die Reihe (1) co ri
tz erg ir end; ist k>»1, so ist sie divergirend.
Beweis. Gesetzt, es fti k < 1, so wollen wir eine
dritte Zahl 17 uns denken, welche zwischen 1 und k liegt,
sonst aber beliebig ist, so daß
k < U < 1
ist. Wenn n größer ist, als jede anzugebende Zahl, so werden
JL
die größten Werthe von (u n )n sich der Grenze k nicht unend
lich nähern können, wenn sie nicht zuletzt beständig kleiner als
17 sind. Folglich wird man der Zahl n einen Werth beilegen
können, welcher so groß ist, daß, wenn n diesen oder einen
noch größeren Werth hat, man beständig erhält
(u n )^ < U, u n < 17".
Hieraus folgt: daß die Glieder der Reihe
u i / u 2 / u }/ - u n + l/ ...
zuletzt beständig kleiner sein werden, als die ihnen correspondi-
renden Glieder der geometrischen Progression
1, 17, 17-, 17',.. .17", 17"7-i etc....,
und da diese Progression convergirt (da 17 << 1 ist), so muß
dieses bei der Reihe (1) um so mehr der Fall sein.
2) Gesetzt aber, es sei k>l, so wollen wir uns noch
eine zwischen 1 und k liegende dritte Zahl 17 denken, so daß
man also -erhält
k > U > 1.
Wird n größer als jede anzugebende Größe, so werden die
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größten Werthe von (u„) " , indem sie sich beständig dem k
nähern, zuletzt größer ^ls 17 werden, so daß also für so große
Werthe von n
(u n ) n 7> 17 oder u n >. 17"
wird. Die Glieder der Reihe
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