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Lehrsatz 3. Wenn in der Reihe (1) ein jedes
Glied kleiner als das vorhergehende ist, so ist sie
convergirénd, wenn die Reihe
(2) « 0 , 2uj ( 4u 3 , 8u 7 , 16uj s , etc...,
convergirt; divergirend dagegen, wenn diese Reihe
divergirt.
Beweis. Gesetzt, die Reihe (1) convergiré, und ihre
Summe sei s, so hat man
u o
— u o,
2h 1
, — 2u
4u 3
< 2u 2
8u 7
< 2u 4
etc..
mithin die Summe der Glieder der Reihe (2), wie groß deren
Anzahl immer sein mag, kleiner als
r-o 4-2u x +2u 2 +2u 3 +2u 4 + etc = 2s — u 0 ;
folglich ist die Reihe (2) convergirend.
Gesetzt aber, die Reihe (1) divergiré, so wird die Summe
einer sehr großen Anzahl von Gliedern jede anzugebende Zahl
übersteigen, und da
W 0 = u or
2"i >«1 -t- «2,
>u 3 +u 4 +u s +u 6 ,
8u 7 >u 7 +Ug -f*u 9 +u 10 -j-u 11 + u i2 -}-u I3 -t" u i4»
etc
so wird die Summe der Größen
u 0 , 2u t ,
8u,, etc.
wenn man eine bedeutende Anzahl von Gliedern nimmt, größer
als jede anzugebende Größe werden. Die Reihe (2) wird also
divergiren.
Zusatz. Wenn wan für die Reihe (1) folgendeannimmt,
(3) 1, 2» ~^T> etc /
wo (.i eine beliebige Größe bedeutet, so ist die Reihe (2) folgende
1, 2 1 ~", S 1 ” 1 “, etc.,...