Diese Reihe ist eine geometrische Progression und conver-
girend, wenn fi > 1 ist, divergirend, wenn dieses nicht der
Fall ist. Mithin wird die Reihe (3) gleichfalls convergiren,
wenn fi > 1 ist, und divergiren, wenn fi— 1 oder 1
ist. Es wird also die erste von folgenden drei Reihen
(4)
i,
1
2 2 '
1
32 '
1
42 '
etc.
(5)
1,
1
2 '
1
3 '
1
4 '
, etc.
(6)
1,
1
1t '
1
U'
1
4t '
, etc.
convergiren; die beiden letzten Reihen dagegen sind divergirend.
Lehrsatz 4. Bedeutet L das Zeichen der Loga
rithmen eines beliebigen Systems, und nimmt
man an, daß für wachsende Werthe von n der
Quotient
L (u n )
sich einer Grenze h nähert, so wird die Reihe (1)
convergiren, wenn h>l ist; divergiren, wenn
b< 1 ist.
Beweis. Gesetzt, es sei b 1, so wollen wir eine
zwischen 1 und h liegende dritte Zahl a uns denken, welche
übrigens beliebig ist, so daß
b> a > 1
sein wird. Für sehr große Werthe von n wird alsdann der
Quotient
/ 1 v, oder der ihm gleiche
Mir)