109 
ofTtiü macht, 
ommt, weg- 
che divergirt, 
convergirende 
abgekehrt, ist 
ewisser Glie- 
ei'ne Anwen- 
veiten Lehr- 
rds positiven 
selben durch 
durch Ver- 
ch vermehrt, 
virkt, wenn 
multiplicirk, 
positiven 
iden fol- 
08. 6 n , 
iin.d n ; 
on allen 
^2 / * • • 
ln sich die 
n(9, etc,... 
n6, etc.... 
)e (2) ist. 
n welchen 
jede positive und negative Glieder enthalt, so laßt sich leicht 
darthun, daß die Lehrsätze 5 und 6 des 2*™ §. sich auch auf 
sie ausdehnen lassen, wie sogleich gezeigt werden soll. 
Lehrsatz 5. Es seien 
(7) I u °' ' U2 ' Un/ etc "”' 
( v 0 , v,, v 2 , .... v n , etc , 
zwei convergirende Reihen, und ihre Summen re- 
spective s und s', so ist 
(8) u 0 + v 0 , h,+t„ u 2 +y 2 , ...u n +v n , etc..., 
ebenfalls eine convergirende Reihe und ihre 
Summe s-j-8^. 
Beweis. Setzt man 
Sn = u 0 H“ u 1 ”t" u 2 + ... + u n—1, 
s'n=V 0 + v i + + ... + Vn-1, 
so werden s n und s' n , wenn n beständig wachst, sich respective 
den Grenzen s und s' nähern. Mithin nähert sich alsdann 
die Summe Sn + s'n, d. h. die Summe der n ersten Glieder 
der Reihe (8), der Grenze s-J-s', was zu erweisen war. 
Lehrsatz 6. Unter übrigens gleichen Voraus 
setzungen wird, wenn jede der Reihen (7) conver- 
girend bleibt, sobald man ihre Glieder auf deren 
Zahlenwerthe reducirt, die Reihe 
(0) (u 0 v 0 , u 0 v x +u a v 0 , UoYj + uj, +u 2 v 0 , 
(...u 0 v n + u,v n _i+...+u n _ 1 v 1 +U n v 0/ etc.... 
ebenfalls convergiren, und ihre Summe wird ss' 
sein. 
Beweis. Es seien auch hier s n , s' n die Summen der 
n ersten Glieder der beiden Reihen [7), und s" n die Summe 
der n ersten Glieder der Reihe 9, so findet man 
s n s n S n—%—1 v n—1 ”1“ ( u n—1 ^ n—L —1) "t“-*’” 
• ••+( u n—i v i + ll n— 2 V 2 + ••• + u 2 v n—2 H~ u i v n—l)* 
Da aber der sechste Lehrsatz im §. 2. für den Fall bewiesen 
worden ist, wo die Reihen (7) nur positive Glieder enthalten,