0 = + 2 k tt 4“ a, 0 = + 2 k ?r— a,
ö = ±(2k + l)7f+a, 0 = + (2k + l)7r — a
setzt, wo k eine beliebige ganze Zahl ist.
Da die Rechnungen mit imaginaren Ausdrücken durch die
Betrachtung der reducirte» Ausdrücke sehr vereinfacht werden
können, so .wird es der Mühe werth sein, die vorzüglichsten
Eigenschaften der letzter» kennen zu lernen. Diese Eigenschaften
sind in folgenden Lehrsätzen enthalten.
Lehrsatz 2. Um zwei reducirte Ausdrücke
C08. 0 + i sin. 0, cos. 0' + i sin. tí'
mit einander zu multipliciren, darf man nur die
ihnen entsprechenden Bogen tí und t/ addiren (und
die Summe derselben statt der einzelnen Bogen in
die Formel cos. 6 + i sin. 0 einführen.
beweis. Man hat in der That
(cos. 6 + i sin, 0) (cos, 6' + i sin. tí')
— (cos. (0 + 0') + i sin. (0 + (/).
Zusatz. Setzt man in der vorhergehenden Formel
tí' = — tí, so findet man, wie man auch wohl erwarten konnte,
( 6 ) (cos. 6 -{- i sin. tí) (cos. 0— i sin. ())==!.
Lehrsatz 3. Um mehrere imaginare Ausdrücke,
z. V.
COS. 6 -j- i sin. tí, cos. tí' + i sin. tí',
cos. tí" 4“ i sin. tí", etc
mit einander lzu multipliciren, darf man nur die
Summe der Bogen tí, tí', tí", , für 6 in cos. 0-j-isin.0
fub stituiren.
Beweis. Man hat in der That
(cos. tí + i sin. tí) ( cos, tí' + i sin. tí')
— cos. (6 + tí') + i sin. (tí + tí'),
(cos. tí 4“ i sin. tí) ( cos. Ö'4-i sin. tí') (eos. 6"4" 1 sin. tí")
— [cos.(04-0')4-i sin.(0 4“0 r )] [eos, 0"4- i sin. 0"J
= eos. (0 4- tí' 4- tí") 4- i sin. (0 4- 0' 4- tí"),