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und wenn man so fortfährt, so findet man allgemein, wie groß 
auch immer die Anzahl der Bogen 0, 0', ß",.... sein mag 
(cos. 0 -f-i sin, ß) (cos.0'-J-i sin.0') (cos.0"-j-i sin 0").„ 
= cos. (0 + 0'+ 6"....) + isin.(0 + 0'+ 0"....) 
Zusatz. Entwickelt man den ersten Theil dieser Gleichung 
unmittelbar durch die Multiplication, so besteht die Entwickelung 
aus zwei Theilen, von welchen der eine reell ist, der andere 
dagegen den Factor i hat. Der reelle Theil ist der Werth von 
cos. (0 + 6' + 6"...); der Coefficient von i dagegen der 
Werth von sin. (0 0' -f- ß"... ). — Betrachtet man z. B. 
nur 3 Bogen 0, 0', ß", so verwandelt sich die Gleichung (7) in 
(cos. 0 -j- i sin. 0) (cos. 0' + i sin. 0') (cos. ß" -j- i sin. ß") 
= cos. (0 + 0'+0") -l- i sin. ( 0 -J- 0' -j- ß"). 
Entwickelt man nun den ersten Theil dieser Gleichung durch 
die algebraische Multiplication, so findet man 
COS. (0 -j- 0'+ 0")=cos.0 cos. 0'cos. ß"— cos. 0 sin. 0'sin. 0" 
— sin. 0 cos. 0'sin.0 ,/ — sin. 0 sin. 0'cos. 0", 
sin. (0 -f- 0'+ 0") —sin. 0 cos. 0'cos,0"-j- cos. 0 sin. 0'cos. 0" 
-j- COS.0 cos.0'sin. ß n — sin. 0 sin. 0'sin. 0". 
Lehrsatz 4. Um den reducirten Ausdruck 
cos. 0 -J- i sin. 0 
durch den folgenden 
cos. 0' -s- i sin. 0' 
zu dividiren, darf man nur den Bogen ß', welcher 
dem zweiten Ausdrucke entspricht, von dem Bogen 
0, welcher dem ersten entspricht, subtrahiren und 
diese Differenz in die Formel cos. 0 + i sin. 0 statt 
der einzeinen Bogen einführen. 
Beweis. Es sei x der gesuchte Quotient, also 
COS. 0 -s- i sin, 0 
cos. 0' —j— i sin. 0' 1 
so muß dieser Quotient ein imaginärer Ausdruck sein, welcher, 
mit COS. 0' -J- i sin. 0' multiplient, cos. 0 + i sin. 0 gibt; 
mit andern Worten, x muß der Gleichung